Řešení úlohy 2a z cvičení DIM2

Adam Blažek

Vypišme vztahy pro členy až do $2 k$ -tého, přičemž každý lichý upravíme tak, aby se poté daly sečíst, sečteme je a upravíme vzniklý vztah, ze kterého následně odvodíme i vztah pro $2 k + 1$ :

\begin{aligned} a_{2} & = 4 \cdot 3^{1} - a_{1} \\ - a_{2} & = - 4 \cdot 3^{2} + a_{3} \\ a_{4} & = 4 \cdot 3^{3} - a_{3} \\ - a_{4} & = - 4 \cdot 3^{4} + a_{5} \\ ⋮ \\ - a_{2 k - 2} & = - 4 \cdot 3^{2 k - 2} + a_{2 k - 1} \\ a_{2 k} & = 4 \cdot 3^{2 k - 1} - a_{2 k - 1} \\ a_{2 k} & = \sum_{i = 1}^{k - 1} {(- 1)}^{i + 1} \cdot 4 \cdot 3^{i} - a_{1} \\ = - 4 \cdot \sum_{i = 1}^{k - 1} {(- 3)}^{i} - a_{1} \\ = 12 \cdot \frac{1 - {(- 3)}^{2 k - 1}}{1 - (- 3)} - a_{1} \\ = 3^{2 k} + 3 - a_{1} \\ a_{2 k + 1} & = 4 \cdot 3^{2 k} - (3^{2 k} + 3 - a_{1}) \\ = 3^{2 k + 1} - 3 + a_{1} \end{aligned}

Z toho plyne obecný vztah:

a_{n} = 3^{n} + {(- 1)}^{n} (3 - a_{1}) ■