Řešení úloh 8–10 z cvičení DIM2

8

λ^{2} - λ - 2 = 0

(λ - 2) (λ + 1) = 0

a_{n} = α \cdot 2^{n} + β \cdot {(- 1)}^{n}

Aby posloupnost neměla limitu, musí být zřejmě $α = 0$ . Podle počáteční podmínky vyjde $β = - 3$ , tedy $a_{0} = - 3$ .

λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12 = 0

(λ - 2) (λ - 5 λ + 6) = 0

{(λ - 2)}^{2} (λ - 3) = 0

y_{n} = α \cdot 2^{n} + β \cdot n \cdot 2^{n} + γ \cdot 3^{n}

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 9 \end{array}) (\begin{array}{c} α \\ β \\ γ \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \end{array})

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} α \\ β \\ γ \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & - 3 \end{array})

α = 3, β = 2, γ = - 3

y_{n} = 3 \cdot 2^{n} + n \cdot 2^{n + 1} - 3^{n + 1}

λ^{4} - 8 λ^{2} + 16 = 0

{(λ^{2} - 4)}^{2} = 0

{(λ - 2)}^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0

x_{n} = α \cdot 2^{n} + β \cdot n \cdot 2^{n} + γ \cdot {(- 2)}^{n} + δ \cdot n \cdot {(- 2)}^{n}, α, β, γ, δ \in ℝ