Řešení příkladů na kongruence

Cvičení 14, příklad d

\begin{aligned} 55 x & \equiv 15 & (m o d 25) \\ 11 x & \equiv 3 & (m o d 5) \\ x & \equiv 3 & (m o d 5) \end{aligned}

Cvičení 15, příklad e

8 ⟂ 11,8 ⟂ 15,11 ⟂ 15 ∴ l z e p o u \overset{ˇ}{z} \overset{ˊ}{ı} t \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{ı} n s k o u z b y t k o v o u v \overset{ˇ}{e} t u

m = 8 \cdot 11 \cdot 15 = 1320

\begin{aligned} 165 \cdot c_{1} & \equiv 1 & (m o d 8) \\ 5 \cdot c_{1} & \equiv 1 & (m o d 8) \\ c_{1} & \equiv 5 & (m o d 8) \\ 120 \cdot c_{2} & \equiv 1 & (m o d 11) \\ - 1 \cdot c_{2} & \equiv 1 & (m o d 11) \\ c_{2} & \equiv - 1 & (m o d 11) \\ 88 \cdot c_{2} & \equiv 1 & (m o d 15) \\ - 2 \cdot c_{2} & \equiv 1 & (m o d 15) \\ c_{2} & \equiv 7 & (m o d 15) \\ x & \equiv 5 \cdot 5 \cdot 165 + 6 \cdot - 1 \cdot 120 + 7 \cdot 7 \cdot 88 & (m o d 1320) \\ x & \equiv 7717 & (m o d 1320) \\ x & \equiv 1117 & (m o d 1320) \end{aligned}

Cvičení 17, příklad f

8 ⟂̸ 12 ∴ n e l z e p o u \overset{ˇ}{z} \overset{ˊ}{ı} t \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{ı} n s k o u z b y t k o v o u v \overset{ˇ}{e} t u

Rozložíme druhou kongruenci tak, aby vznikla soustava, která vyřešit půjde

x \equiv 9 (m o d 12) ⟺ x \equiv 0 (m o d 3) \land x \equiv 1 (m o d 4)

Druhá podmínka je již zahrnuta v první kongruenci zadání, stačí tedy řešit

x \equiv 5 (m o d 8) \land x \equiv 0 (m o d 3)

Na toto by již šla použít čínská zbytková věta, ovšem díky nule v druhé soustavě stačí uvažovat $x = 3 k$ a dosadit do první kongruence

\begin{aligned} 3 k & \equiv 5 & (m o d 8) \\ k & \equiv - 1 & (m o d 8) \end{aligned}

Řešením jsou tedy čísla ve tvaru $x = 3 \cdot (8 l - 1)$ , tedy $x \equiv - 3 (m o d 24)$ .