Zápisky z Dějin matematiky

Staré a ještě starší neřešené problémy teorie čísel

Hodně matematiky vzniklo v Řecku. Neznáme žádné slavné římské matematiky, protože Římany nezajímalo nic, co se nedá okamžitě aplikovat.

To, co umožnilo řecké matematice dostat se na vysokou úroveň, byla (na tehdejší dobu) rigoróznost — důraz na jednoznačné definice (Platon), důkazy (Thales: první známý důkaz dokazuje, že přímka vedoucí středem kružnice ji rozděluje napůl), logické odvozování z dohodnutých axiomů, žádné odvolávání na autoritu.

Platon definoval člověka jako „dvounohé zvíře, které nemá peří“; následně Diogenes přinesl na trh oškubaného kohouta a prohlásil, že drží Platonova člověka.

Také v arabských zemích byla matematika vyspělá. Fibonacci — syn obchodníka — ho doprovázel na obchodní cestě do severní Afriky, kde si všiml, že Arabové mají znalosti, které v Evropě nejsou. Napsal poté učebnici, kterou tyto znalosti přivezl do Evropy.

Ekvivalentní tvrzení Riemannově domněnce:

• $\pi \left(n\right)={\int }_2^n\ln \left(t\right)\mathrm{d}t+𝒪\left(\sqrt{n}\ln \left(n\right)\right)$
• $\sigma \left(n\right)<e^{\gamma }n\ln \left(\ln \left(n\right)\right)$
• $\sigma \left(n\right)<H_n+e^{H_n}\ln \left(H_n\right)$, kde $H_n≔{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$

V Egyptě se dříve zapisovaly zlomky jako součet zlomků ve tvaru $\frac{1}{k}$ s různými jmenovateli.

Angustin Louis Cauchy a základy matematické analýzy v 19. století

Cauchy před dvěma sty lety napsal učebnici analýzy. V ťe době se běžně počítalo s nekonečně malými a velkými hodnotami, neopatrně se zacházelo s řadami, nehledělo se na korektnost (stačilo, aby výsledky numericky souhlasily). I přesto se tehdejší matematici díky své intuici jen málokdy dostali ke špatným výsledkům.

Kvůli studentům bylo však nutné napsat učebnici vysvětlující analýzu od základů. Lagrange vypsat soutěž na vypracování nejlepší „teorie nekonečna“, ale nevzešlo z ní nic uspokojivého. Poté příšel s myšlenku, že zajímavé jsou jen analytické funkce, čímž se analýza redukovala na algebru, a na tomto základě napsal učebnici. Ovšem ukázalo se, že analytické funkce nestačí.

Cauchy byl první, kdo se snažil dostat analýzu rigorózností na úroveň geometrie. Přednášel analýzu na univerzitě, ale mezi studenty byl neoblíbený. Odmítl složit přísahu věrnosti novému panovníkovi a odešel na osm let dobrovolně do exilu. Cauchy psal spoustu článků; Kvůli němu jistý časopis omezil délku publikací na čtyři stránky.

Cauchy nechal vytisknout učebnici Course d'analyse, která významně ovlivnila další generace matematiků, ovšem nikdy se nepoužívala jako učební text, protože byl donucen změnit obsah svých přednášek.

Učebnice má 568 stran, skládá se z předmluvy, úvodu, 12 kapitol a 9 „poznámek“. Byla přeložena do spousty jazyků. Neobsahuje žádně obrázky, aby nevyvolávaly falešné představy.

V textu se nevyskytují žádné derivace a integrály, přesto dokázal odvodit hluboké výsledky jen pomocí limity. Přestože se učebnice obdivována pro svou přesnost, objevují se tam infinitesimální veličiny. Obecně je učebnice psána přístupně, dobře se čte.

V úvodu se zavádí pojmy číslo a veličina (číslem se mysí kladné číslo, veličinou jakékoli), číselnou (absolutní) hodnotu. Je tam na dnešní standardy ne úplně rigorózní definice limity (ovšem ve skutečnosti měl přesnou představu, o co jde). Cauchy se stejně jako Lagrange pokušel redukovat analýzu na algebru, ovšem nikoliv pomocí mocninných řad, nýbrž pomocí nerovností.

Kapitola 1: Reálné funkce. Rozjišuje explicitní a implicitní funkce, pracuje s „víceznačnými“ funkcemi, složenými funkcemi.

Kapitola 2: O nekonečně malých veličinách. Není to tak hrozné, jak to zní – definuje ji jako proměnnou, která má limitu $0$. Definuje nekonečně malé veličiny různých řádů (analogie moderního značení s $𝒪$). Definuje spojitost funkce. Tehdy se matematici nedokázali shodnout, co přesně se tím pojmem myslí – mohlo jít o funkci nabývající všech mezihodnot, diferencovatelnou funkci, funkci „popsanou jedním vzorcem“, funkci bez skoků, i naši moderní definici, kterou si také Cauchy vybral. Ovšem definoval spojitost pouze na intervalu a nerozlišoval mezi bodovou a stejnoměrnou spojitostí.

Dokázal například spojitost funkce $\sin$, spojitost funkce více proměnných, spojitost složené funkce, větu o nabývání mezihodnot – ta má v samotné kapitole jen geometrické zdůvodnění, v závěrečných poznámkách je dokázána rigorózně. Použil k tomu něco jako bisekci, ale s libovolným počtem dílků. Jadinou slabinou bylo, že nedokázal limitu monotónní posloupnosti – to ani nemohl, protože nebyla rigorózně definována reálná čísla.

Musel se vyhnout L'Hôpitalovu pravidlu, jelikož neměl zavedenou derivaci. Rigorózně (epsilon-deltově) dokázal spoustu vět o limitách. Dokonce prohlásil, že jsou zajímavé limity typu ${\lim }_{\alpha \to 0}\frac{f(x+\alpha )-f\left(x\right)}{\alpha }$, ale nebude se jimi podrobněji zabývat.

Kapitola 3: O symetrických a alternujících funkcích. Funkce je symetrická, pokud se při permutaci proměnných nezmění funkční hodnota. Funkce je alternující, pokud se při transpozici proměnných změní znaménko.

Kapitola 4: Nalezení polynomů, jsou-li známy jejich hodnoty. Dokazuje, že rovnost polynomů v dostatečném počtu bodů implikuje rovnost všude. Odvozuje Lagrangeův interpolační polynom. Dokazuje binomickou větu: nejprve kombinatoricky pro celá čísla, potom to pomocí rovnosti polynomů rozšiřuje na všechna reálná čísla.

Kapitola 5: Nalezení spojitých funkcí, které splňují jisté podmínky. Hledá spojitá řešení různých funkcionálních rovnic.

Kapitola 6: O konvergentních a divergentních řadách. Definuje řadu, konvergenci řady, dokazuje konvergenci geometrické řady. Formuluje něco jako dnešní Bolzano-Cauchyovu podmínku (ale nedokazuje, že je postačující). Pomocí ní dokazuje divergenci harmonické řady a konvergenci řady ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$, pomocí které definuje Eulerovo číslo. Nesprávně tvrdí, že součet spojitých funkcí je spojitá funkce (uvádí důkaz, kde ve skutečnosti používá stejnoměrnou konvergenci). Používá odmocninové, podílové, kondenzační a logaritmické kritérium, Cauchyův součin pro konvergentní řady s nezápornými členy (ukazuje, že pro smíšené členy nefunguje). Pomocí kondenzačního kritéria dokazuje, kdy konverguje řada ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\mu }}$.

Zvláštní pozornost věnuje mocninným řadám, odvozuje binomickou řadu pomocí funkcionální rovnice, limitu ${\lim }_{\alpha \to 0}{(1+\alpha )}^{\alpha }=e$ (u té neodůvodňuje záměnu limity a sumy). Odvozuje mocninnou řadu pro logaritmus.

Cauchy nebyl první, kdo studoval nekonečné řady, měl v tom řadu předchůdců: Maclaurin, Lacroix, Lagrange, d'Alembert.

Kapitola 7: O imaginárních výrazech. Tím myslel komplexní čísla. Rovnici s komplexními čísly považoval pouze za symbolické vyjádření dvou reálných rovnic. Zavádí aritmetické operace s komplexními čísly. Poukazuje na to, že komplexní čísla jsou užitečná i v teorii čísel – dá se pomocí nich snadno dokázat, že součin součtů dvou čtverců je opět součet dvou čtverců. Ukazuje goniometrický tvar komplexního čísla, odvozuje pomocí komplexních čísel různé goniometrické vzorce.

Dalších pět kapitol. 8: O imaginárních funkcích a proměnných. 9: O konvergentních a divergentních imaginárních řadách. 10: O reálných nebo imaginárních kořenech algebraických rovnic. 11: Rozklad racionálních zlomků. 12: O rekurentních řadách.

Poznámky. 1: O teorii kladných a záporných veličin. 2: O vzorcích vzniklých použitím symbolů $>$ nebo $<$ a o průměrech několika veličin. 3: O numerickém řešení rovnic. 4: O rozvoji alternující funkce $(y-x)(z-x)(z-y)\cdots (v-x)(x-y)(v-z)\cdots (v-u)$. 5: O Lagrangeově interpolačním vzorci. 6: O figurálních [kombinačních] číslech. 7: O dvojných řadách [sčítání přes dva indexy]. 8: O vzorcích užívaných k převodu sinu nebo kosinu násobků oblouku na polynomy, jejichž členy jsou rostoucí mocniny sinů nebo kosinů stejného úhlu. 9: O součinech s nekonečně mnoha činiteli.

Pozděli vzniká další učebnice Calculus infinitésimal, kde definuje derivaci a rigorózně dokazuje věty o ní, použije ji k vyšetřování průběhu funkce. Integál definuje pomocí součtu (něco jako Riemann), nikoliv jako antiderivaci. Ovšem dokazuje, že derivace integrálu podle horní meze je původní funkce.

Cauchy vlastně spíše využíval výsledky svých předchůdců, než aby něco vymýšlel sám, ale o to obdivuhodnější je jeho práce. Na základě rozházených výsledků od různých autorů dokázal vybudovat solidní a koherentní teorii.

Čarodějná křivka Marie Gaetany Agnesi

Maria Gaetana Agnesi se narodila do bohaté rodiny, kde otec měl 21 dětí se třemi ženami. Byla velmi nadaná na jazyky. Její otec ji nechával dobře vzdělávat a pořádal kulturní večírky, kde přednášela různé předměty. Její sestra, která se později stala známou hudebnicí, zde zase předváděla hudbu. Toto vystupování se Marii popravdě moc nelíbilo. Vyučovala svých dvacet sourozenců a po nocích sama studovala matematiku. Poté sepsala něco jako diplomovou práci.

Název vznikl pravděpodobně záměnou slova versiera (něco s otáčením) se slovem avversiera (ďáblice).

Poté napsala další učebnici Instituzioni analitiche, která se proslavila po celém světě a byla dlouho používána. Za tuto práci dostala od papeže Benedikta XIV. spoustu darů a nabídku akademického místa na boloňské univerzitě. Tu však nepřijala.

Následně zamřel její otec, což považovala za určité „osvobození“ a přestala se věnovat vědě.

Jmenuje se po ní alkoholický nápoj Agnesi 1799 (datum smrti).