Adamův výběr nejhnusnějších vět a důkazů z Matematické analýzy A3

Funkční posloupnosti

Definice (Weierstrassova funkce).

f (x) ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{3}{4})}^{n} ϕ (4^{n} x)

kde

ϕ (x)

je pilovitá funkce.

Věta. Weierstrassova funkce je všude spojitá.

Důkaz. Pilovitá funkce je omezená, takže řada konverguje stejnoměrně na celém

ℝ

, a protože je to řada spojitých funkcí, limita je spojitá.

Věta. Weierstrassova funkce není nikde diferencovatelná.

Důkaz (základní myšlenka). Jako

h

v definici derivace zvolíme

δ_{m} ≔ \pm \frac{4^{- m}}{2}

, kde znaménko budeme volit tak, aby nám vyšlo suprémum

\infty

, tedy limita neexistuje nebo je

\infty

Věta. Nechť

f

je hladká na

(a, b)

. Pokud platí následující podmínka, potom je funkce i analytická:

\forall x_{0} \in ((a, b)) (\exists H_{x_{0}}) (\exists C \in ℝ^{+}) (\forall n \in ℕ_{0}) (\sup | f^{(n)} (H_{x_{0}}) | \leq C^{n + 1} n!)

Definice (Dirichletovo jádro).

D_{n} (t) ≔ \frac{\sin ((n + \frac{1}{2}) t)}{\sin (\frac{1}{2} t)} = 1 + 2 \sum_{k = 1}^{n} \cos (k t)

Věta.

n

-tý částečný součet Fourierovy řady funkce

f

je roven

\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) D_{n} (t - x) d t

Věta. Fourierova řada v bodě

x

konverguje k

s

, právě pokud

\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{π} (\frac{f (x + t) - f (x - t)}{2} - s) D_{n} (t) d t = 0

Důkaz (základní myšlenka). Vezmeme předchozí větu a budeme s ní provádět nějaké čachry machry. Využijeme u toho identitu

\int_{0}^{π} D_{n} (t) d t = π

Lemma (Riemannovo). Pokud je

f

Riemannovsky integrabilní na

(a, b)

, potom

\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) \sin (n x) d x = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) \cos (n x) d x = 0

Důkaz (základní myšlenka). Pokud je funkce integrabilní na

[a, b]

, uděláme to tak, že si Riemannovy obdélníčky vyjádříme jako funkci, dokážeme, že pro ni to platí, a potom ukážeme, že její integrál je blízko k integrálu původní funkce. Pokud není, roztrháme interval tak, aby byl kritický jen jeden z krajních bodů. Každý z kousíčků potom ještě roztrhneme tak, aby kritická část byla hodně malá, a aplikujeme již dokázané.

Věta. Fourierova řada v bodě

x

konverguje k

s

, právě pokud existuje

c \in (0, π)

takové, že

\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{c} (\frac{f (x + t) - f (x - t)}{2} - s) \cot (\frac{t}{2}) \sin (n t) d t = 0

Důkaz (základní myšlenka). Vezmeme poslední větu a použijeme vztah

D_{n} (t) = \sin (n t) \cot (\frac{t}{2}) + \cos (n t)

. Pomocí Riemannova lemmatu se zbavíme

\cos

, následně rozřízneme integrál kolem

c

a zbavíme se druhé části.

Věta (Diniho). Fourierova řada v bodě

x

konverguje k

s

, pokud (ne nutně) existuje

c \in (0, π)

takové, že

\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{c} \frac{f (x + t) - f (x - t) - 2 s}{t} d t

Důkaz (základní myšlenka). Pomocí Riemannova lemmatu to převedeme na předchozí větu.

Věta. Pokud má

f

po částech spojitou derivaci na

[a, b]

, potom její Fourierova řada konverguje k její periodizaci s nastředovanými nespojitostmi.

Důkaz (základní myšlenka). Nejdřív musíme ukázat, že je

f

vůbec spojitá. To je potíž akorát v kritických bodech. Musí se to nějak hnusně vymlátit pomocí Lagrangeovy věty o přírůstku. Potom budeme chtít uplatnit Diniho kritérium, což si ještě budeme muset rozdělit na kritické a nekritické body a v obou případech použijeme Lagrangeovu větu o přírůstku.

Věta (Besselova nerovnost).

\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) \leq \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x

pokud integrál konverguje.

Důkaz (základní myšlenka). Začneme

0 \leq \int_{a}^{b} {(f (x) - F_{n} (x))}^{2} d x

. To roznásobíme a pomocí předchozích větiček si jednotlivé členy upravíme. Pak pošleme

n \to \infty

Poznámka. Pokud to samé uděláme s tou samou funkcí, ale jinou řadou, zjistíme, že odchylka vyjde horší.

Věta (Jordanova). Pokud

f (a) = f (b)

, funkce je spojitá a má po částech spojitou derivaci, potom její Fourierova řada konverguje stejnoměrně k periodickému prodloužení.

Důkaz (základní myšlenka). Rozkrájíme si funkci podle kritických bodů a výrazy pro

a_{n}, b_{n}

v jednotlivých částech zintegrujeme per partes, čímž zjistíme, že

b_{n} = \frac{a_{n}^{'}}{n}

a obráceně, kde

a_{n}^{'}, b_{n}^{'}

jsou Fourierovy koeficianty

f^{'}

. Členy původní Fourierovy řady potom odhadneme shora

\frac{1}{2} ({a_{n}^{'}}^{2} + {b_{n}^{'}}^{2} + \frac{2}{n^{2}})

, uplatníme Besselovu nerovnost a Weierstrassovo kritérium.

Věta (Parsevalova rovnost).

\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x

pokud integrál konverguje.

Důkaz (základní myšlenka). V důkazu Besselovy nerovnosti se ukazuje, že rozdíl stran je roven

\lim_{n \to \infty} {‖ f - F_{n} ‖}^{2}

. Takže chceme dokázat, že tohle je

0

. Nejprve vyřešíme případ, kdy

f

je Riemannovsky integrabilní, tedy omezená. Zvolíme si dostatečně jemné dělení a aproximujeme funkci lomenou čarou. Ještě navíc si nastavíme

f (a) = f (b)

, což neovlivní integrál, ale lomená čára díky tomu bude splňovat podmínky Jordanovy věty. Tedy víme, že její Fourierova řada konverguje, a pomocí toho nějak odhadneme původní Fourierovu řadu. Teď předpokládejme, že

f

nemá Riemannův integrál, ale má zobecněný Riemannův integrál. Potom stačí funkci na dostatečně malém kousíčku u kritického bodu nastavit na nulu a použít již dokázané.

Topologie

Věta.

β

je báze nějakého topologického prostoru, právě pokud

(\forall A, B \in β) (\forall x \in A \cap B) (\exists C \in β) (x \in C \subseteq A \cap B)

Definice. Množina

A

je hustá v množině

B

, pokud

A \supseteq B

Věta. Pouze ve Fréchetově prostoru ( $T_{1}$ ) platí:

$A^{'} \in c τ$
$A^{''} \subseteq A^{'}$

Věta. Pouze v Hausdorrfově prostoru ( $T_{2}$ ) je limita určena jednoznačně.

Věta. Uzavřená množina v kompaktním prostoru je kompaktní.

Věta. Kompaktní množina v Hausdorffově prostoru je uzavřená.

Věta. V kompaktním prostoru: Pokud má posloupnost právě jednu hromadnou hodnotu, potom konverguje.

Věta. V Hausdorffově prostoru: Pokud posloupnost konverguje, potom má právě jednu hromadnou hodnotu

Věta. V topologickém prostoru: Pokud posloupnost má konvergentní podposloupnost, potom má hromadnou hodnotu.

Věta. V metrickém prostoru: Pokud posloupnost má hromadnou hodnotu, potom má konvergentní podposloupnost.

Věta. Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, pokud je sekvenčně kompaktní.

Důkaz (základní myšlenka).

(\Rightarrow)

Vyplývá z výše uvedených vět.

(\Leftarrow)

Lemma (Lebesgueovo). Mějme otevřené pokrytí sekvenčně kompaktního prostoru. Potom existuje velikost koule taková, že každou takovou kouli najdeme v nějakém prvku pokrytí.

Důkaz (základní myšlenka). Sporem. Budeme brát čím dál menší koule, které nejsou pokryté. Nechť

x

je limita vybrané posloupnosti jejich středů. Ale kolem

x

nějakou vhodnou kouli najdeme a z toho vymlátíme spor.

Lemma (Borelovo). Sekvenčně kompaktní prostor je totálně omezený, tedy dá se pokrýt konečným množstvím koulí libovolné velikosti.

Důkaz (základní myšlenka). Budeme prostě nějak volit středy koulí a dokážeme, že pokud po konečném počtu kroků neskončíme, bude to spor.

Potom už to je jednoduchý.

Věta. Kompaktní množina v metrickém prostoru je omezená a uzavřená.

Věta. Pokud máme spojité zobrazení z kompaktního prostoru, potom obraz kompaktní množiny je kompaktni.

Věta. Spojité zobrazení z kompaktního metrického prostoru do metrického prostoru je stejnoměrně spojité.

Důkaz (základní myšlenka). Sporem. Budeme zmenšovat

δ

, tím vytvoříme posloupnosti a využijeme sekvenční kompaktnost.

Lemma (tubulární). Mějme otevřenou množinu

U \subseteq X \times Y

a kompaktní množinu

K \subseteq Y

. Potom množina

V ≔ {x \in X | {x} \times K \subseteq U}

je otevřená v

X

Důkaz (základní myšlenka). Nechť

x \in V

. Z vlastností otevřené množiny máme pro každé

y

takové otevřené

A_{y} \subseteq X, B_{y} \subseteq Y

, že

(x, y) \in A_{y} \times B_{y} \subseteq U

. Tyto množiny

B_{y}

jsou pokrytí, vybereme z nich konečné podpokrytí a ukážeme, že jeho průnik je okolí

x

, které je podmnožina

V

Věta (Tychonovova). Kartézský součin dvou kompaktních prostorů je kompaktní.

Důkaz. Mějme nějaké

x \in X

. V tubulárním lemmatu zvolíme

K ≔ Y

a za

U

sjednocení nějakého konečného pokrytí

{x} \times Y

. Tohle uděláme pro všechna

x

a tím dosteneme pokrytí

X

, z něhož vybereme konečné podpokrytí. To vynásobíme

Y

a dosteneme pokrytí

X \times Y

Věta. Libovolné dvě normy na prostoru konečné dimenze jsou ekvivalentní.

Důkaz (základní myšlenka). Vezmeme nějakou bázi a budeme porovnávat obecnou normu s maximovou normou v této bázi. Jedna nerovnost bude snadná, na druhou potřebujeme lemma:

Lemma. Množina

S ≔ {x \in V_{n} | {‖ x ‖}_{\infty} = 1}

(jednotková kružnice maximové normy) je kompaktní.

Důkaz (základní myšlenka). Problém si snadno převedeme do

ℝ^{n}

. Jak již víme, jednotková uzavřená koule je kompaktní. Kružnice je uzavřená, protože je to vzor uzavřené množiny

{1}

přes spojité zobrazení

{‖ \cdot ‖}_{\infty}

, a tedy je taky kompaktní.

Jelikož je kružnice kompaktní, identická funkce na ní nabývá minima, a tedy existuje nenulový vektor, který má z vektorů jednotkové kružnice nejmenší tu druhou normu. Zbytek je zřejmý.

Věta (Heineova-Borelova). Množina v normovaném prostoru konečné dimenze je kompaktní právě tehdy, pokud je omezená a uzavřená.

Důkaz (základní myšlenka). Pomocí souřadnicového izomormismu se dostaneme do

ℝ^{n}

s maximovou normou. Tam je omezená množina podmnožinou uzavřeného kvádru, který již víme, že kompaktní, a jelikož je množina uzavřená, je také kompaktní.

Věta. Úplná množina v metrickém prostoru je uzavřená.

Věta. Uzavřená množina v úplném metrickém prostoru je úplná.

Lemma. V totálně omezeném prostoru má každá posloupnost cauhyovskou podposloupnost.

Důkaz (základní myšlenka). Budeme brát postupně se zmenšující velikosti koulí a pokaždé najdeme jednu kouli, která obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti.

Věta. Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, pokud je úplný a totálně omezený.

Věta. Topologická sinusoida není křivkově souvislá.

Důkaz (základní myšlenka). Předpokládejme, že by bod

(0,0)

šel spojit s bodem

(a, \sin (\frac{1}{a}))

křivkou

φ

. Definujme

K_{n} ≔ [φ] \cap ([0, \frac{1}{n}] \times {1})

To je zmenšující se posloupnost uzavřených podmnožin kompaktní množiny, takže mají neprázdný průnik, který musí být v bodě

(0,1)

, což je spor.

Adamův výběr nejhnusnějších vět a důkazů z Matematické analýzy A3

Funkční posloupnosti

Topologie

Funkce více proměnných