Adamův výběr nejhnusnějších vět a důkazů z Matematické analýzy A3

Funkční posloupnosti

Definice (Weierstrassova funkce). f(x)n=1(34)nϕ(4nx)f{\left(x\right)} \coloneqq \sum_{n=1}^{\infty} {\left(\frac{3}{4}\right)}^n \phi{\left(4^n x\right)} kde ϕ(x)\phi{\left(x\right)} je pilovitá funkce.
Věta. Weierstrassova funkce je všude spojitá.
Věta. Weierstrassova funkce není nikde diferencovatelná.
Věta. Nechť ff je hladká na (a,b){\left(a,b\right)}. Pokud platí následující podmínka, potom je funkce i analytická: x0((a,b))(Hx0)(CR+)(nN0)(supf(n)(Hx0)Cn+1n!)\forall x_0 \in {\left({\left(a,b\right)}\right)} {\left(\exists H_{x_0}\right)} {\left(\exists C \in \R^+\right)} {\left(\forall n \in \N_0\right)} {\left(\sup {\left\lvert f^{\left(n\right)} {\left(H_{x_0}\right)}\right\rvert} \le C^{n+1} n!\right)}
Definice (Dirichletovo jádro). Dn(t)sin((n+12)t)sin(12t)=1+2k=1ncos(kt)D_n{\left(t\right)} \coloneqq \frac{\sin{\left({\left(n + \frac{1}{2}\right)} t\right)}}{\sin {\left(\frac{1}{2} t\right)}} = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n} \cos{\left(k t\right)}
Věta. nn-tý částečný součet Fourierovy řady funkce ff je roven 12πππf(t)Dn(tx)dt\frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi}f{\left(t\right)} D_n{\left(t - x\right)}\,\mathrm dt
Věta. Fourierova řada v bodě xx konverguje k ss, právě pokud limn0π(f(x+t)f(xt)2s)Dn(t)dt=0\lim_{n\to \infty} \int_{0}^{\pi}{\left(\frac{f{\left(x + t\right)} - f{\left(x - t\right)}}{2} - s\right)} D_n{\left(t\right)}\,\mathrm dt = 0
Lemma (Riemannovo). Pokud je ff Riemannovsky integrabilní na (a,b){\left(a,b\right)}, potom limnabf(x)sin(nx)dx=limnabf(x)cos(nx)dx=0\lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b}f{\left(x\right)} \sin{\left(n x\right)}\,\mathrm dx = \lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b}f{\left(x\right)} \cos{\left(n x\right)}\,\mathrm dx = 0
Věta. Fourierova řada v bodě xx konverguje k ss, právě pokud existuje c(0,π)c \in {\left(0, \pi\right)} takové, že limn0c(f(x+t)f(xt)2s)cot(t2)sin(nt)dt=0\lim_{n\to \infty} \int_{0}^{c}{\left(\frac{f{\left(x + t\right)} - f{\left(x - t\right)}}{2} - s\right)} \cot{\left(\frac{t}{2}\right)} \sin{\left(n t\right)}\,\mathrm dt = 0
Věta (Diniho). Fourierova řada v bodě xx konverguje k ss, pokud (ne nutně) existuje c(0,π)c \in {\left(0, \pi\right)} takové, že limn0cf(x+t)f(xt)2stdt\lim_{n\to \infty} \int_{0}^{c}\frac{f{\left(x + t\right)} - f{\left(x - t\right)} - 2 s}{t}\,\mathrm dt
Věta. Pokud má ff po částech spojitou derivaci na [a,b]{\left[a,b\right]}, potom její Fourierova řada konverguje k její periodizaci s nastředovanými nespojitostmi.
Věta (Besselova nerovnost). a022+n=1(an2+bn2)2baabf(x)2dx\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} {\left(a_n^2 + b_n^2\right)} \le \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b}f{\left(x\right)}^2\,\mathrm dx pokud integrál konverguje.
Věta (Jordanova). Pokud f(a)=f(b)f{\left(a\right)} = f{\left(b\right)}, funkce je spojitá a má po částech spojitou derivaci, potom její Fourierova řada konverguje stejnoměrně k periodickému prodloužení.
Věta (Parsevalova rovnost). a022+n=1(an2+bn2)=2baabf(x)2dx\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} {\left(a_n^2 + b_n^2\right)} = \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b}f{\left(x\right)}^2\,\mathrm dx pokud integrál konverguje.

Topologie

Věta. β\beta je báze nějakého topologického prostoru, právě pokud (A,Bβ)(xAB)(Cβ)(xCAB){\left(\forall A,B \in \beta\right)} {\left(\forall x \in A \cap B\right)} {\left(\exists C \in \beta\right)} {\left(x \in C \sube A \cap B\right)}
Definice. Množina AA je hustá v množině BB, pokud AB\overline A \supe B.
Věta. Pouze ve Fréchetově prostoru (T1T_1) platí:
Věta. Pouze v Hausdorrfově prostoru (T2T_2) je limita určena jednoznačně.
Věta. Uzavřená množina v kompaktním prostoru je kompaktní.
Věta. Kompaktní množina v Hausdorffově prostoru je uzavřená.
uzavřená kompaktní prostor kompaktní Hausdorffův prostor
Věta. V kompaktním prostoru: Pokud má posloupnost právě jednu hromadnou hodnotu, potom konverguje.
Věta. V Hausdorffově prostoru: Pokud posloupnost konverguje, potom má právě jednu hromadnou hodnotu
1 hromadná hodnota kompaktní prostor konverguje Hausdorffův prostor
Věta. V topologickém prostoru: Pokud posloupnost má konvergentní podposloupnost, potom má hromadnou hodnotu.
Věta. V metrickém prostoru: Pokud posloupnost má hromadnou hodnotu, potom má konvergentní podposloupnost.
Věta. Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, pokud je sekvenčně kompaktní.
Věta. Kompaktní množina v metrickém prostoru je omezená a uzavřená.
Věta. Pokud máme spojité zobrazení z kompaktního prostoru, potom obraz kompaktní množiny je kompaktni.
Věta. Spojité zobrazení z kompaktního metrického prostoru do metrického prostoru je stejnoměrně spojité.
Lemma (tubulární). Mějme otevřenou množinu UX×YU \sube X \times Y a kompaktní množinu KYK \sube Y. Potom množina V{xX|{x}×KU}V \coloneqq {\left\{x \in X\,\middle|\,{\left\{x\right\}} \times K \sube U\right\}} je otevřená v XX.
Věta (Tychonovova). Kartézský součin dvou kompaktních prostorů je kompaktní.
Věta. Libovolné dvě normy na prostoru konečné dimenze jsou ekvivalentní.
Věta (Heineova-Borelova). Množina v normovaném prostoru konečné dimenze je kompaktní právě tehdy, pokud je omezená a uzavřená.
Věta. Úplná množina v metrickém prostoru je uzavřená.
Věta. Uzavřená množina v úplném metrickém prostoru je úplná.
Lemma. V totálně omezeném prostoru má každá posloupnost cauhyovskou podposloupnost.
Věta. Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, pokud je úplný a totálně omezený.
Věta. Topologická sinusoida není křivkově souvislá.

Funkce více proměnných

Věta. Nechť funkce g:(a,b)Rmg : {\left(a,b\right)} \to \R^m je spojitá. Potom abg(t)dtabg(t)dt{\left\lVert \int_{a}^{b}g{\left(t\right)}\,\mathrm dt\right\rVert} \le \int_{a}^{b}{\left\lVert g{\left(t\right)}\right\rVert}\,\mathrm dt
Věta. Nechť funkce f:ΩRmf : \Omega \to \R^m, kde RnΩτobv\R^n \supe \Omega \in \tau_\text{obv}, je diferencovatelná na Ω\Omega. Nechť KΩK \sube \Omega je konvexní a derivace je na ní omezená číslem MM. Potom (x,yK)(f(x)f(y)Mxy){\left(\forall x,y \in K\right)} {\left({\left\lVert f{\left(x\right)} - f{\left(y\right)}\right\rVert} \le M {\left\lVert x - y\right\rVert}\right)}