ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská

- VÝZKUMNÝ ÚKOL -

VYŠETŘOVÁNÍ SPEKTRA FLOQUETOVA OPERÁTORU A KREINOVA FORMULE

Ondřej Váňa

Školitel: Doc. Ing. Pavel Št’ovíček, CSc.

V Praze 26.5. 1998 1 Úvod

Ve spektrální teorii hraje významnou úlohu operátor rezolventy. Obsahem této práce je analýza dvou formulí pro rezolventu.

První formule, tzv. Kreinova formule, lze použít v případě spektrální analýzy samosdružených rozšíření symetrických uzavřených operátorů, které hrají významnou roli např. v kvantové mechanice. Příkladům takovýchto užití je věnován odstavec 3.

Druhá formule, tzv. Karnerova formule, je studována v odstavcích 4 a 5. V odstavci 4 je zformulován její původní tvar publikovaný v [2]. Odstavec 5 je věnován formulaci jejího zobecnění na spojitý případ tzv. Floquetova hamiltoniánu. Korektní formulaci a důkazu tohoto zobecnění pro daný typ Floquetova hamiltoniánu bude věnována následující diplomová práce posluchače.

Závěrem bych chtěl velmi poděkovat svému školiteli, doc. Ing. Pavlovi Št’ovíčkovi, CSc., za obětavou pomoc při mých častých konzultacích.

V Praze 26.5 1998

Ondřej Váňa

2 Kreinova formule

Cílem tohoto odstavce je vyslovit a dokázat tzv. Kreinovu formuli. Tato formule udává vztah mezi rezolventami dvou samosdružených rozšíření symetrického operátoru. Jak ukážeme v dalších odstavcích, lze ji s výhodou použít při vyšetřování spektrálních vlastností operátorů.

Věta (Kreinova formule). Necht’ X je uzavřený, symetrický, hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru H, tj. X ⊂ X^{∗}, \overline{D(X)} = H. Pro z ∈ C\R označme N (z) := Ker(X^{∗} − z), P(z) bud’ ortogonální projektor na N (z). Necht’ dále H a H_{0} jsou dvě samosdružená rozšíření operátoru X, tj. X ⊂ H = H^{∗} ⊂ X^{∗}, X ⊂ H_{0} = H_{0}^{∗} ⊂ X^{∗}. Potom platí:

(H − z)^{−1} = (H_{0} − z)^{−1} + P (z)^{∗} \frac{V (z̄) − V_{0}(z̄)}{z̄ − z}P (z̄) ,  (1)

kde P (z)^{∗} je operátor vnoření podprostoru N (z) do H, V (z) a V_{0}(z) jsou izometrie zobrazující podprostor N (z) na N (z̄), které určují samosdružená rozšíření H a H_{0}.

Důkaz.

Vzhledem k tomu, že platí N (z̄) ⊕ N (z̄)^{⊥} = H, stačí rovnost (1) prověřit zvlášt’ na N (z̄) a N (z̄)^{⊥}.

Bud’ f ∈ N (z̄)^{⊥}. Platí

N (z̄)^{⊥} = Ker(X^{∗} − z̄)^{⊥} = Ran(X − z)^{⊥}^{⊥} = \overline{Ran(X − z)} = Ran(X − z) , (2)

a tedy f ∈ N (z̄)^{⊥} implikuje existenci vektoru g ∈ D(X) tak, že platí

(X − z)g = f .  (3)

Protože H a H_{0} jsou rozšíření operátoru X, platí (H − z)g = (H_{0} − z)g = f, a tedy

(H − z)^{−1}f = (H_{0} − z)^{−1}f ,  (4)

což je Kreinova formule pro f ∈ N (z̄)^{⊥}.

Bud’ f ∈ N (z̄). Potom podle teorie samosdružených rozšíření platí

H(V (z̄)f + f) = zV (z̄)f + z̄f  (5)
H_{0}(V_{0}(z̄)f + f) = zV_{0}(z̄)f + z̄f ,

a tedy

(H − z)^{−1}f = \frac{V (z̄)f + f}{z̄ − z}  (6)
(H_{0} − z)^{−1}f = \frac{V_{0}(z̄)f + f}{z̄ − z} .  (7)

Odečtením výrazů (6) a (7) dostáváme

(H − z)^{−1}f = (H_{0} − z)^{−1}f + \frac{V (z̄) − V_{0}(z̄)}{z̄ − z}f ,  (8)

což je Kreinova formule pro f ∈ N (z̄).

Q.E.D.

3 Užití Kreinovy formule - operátory −∂_{x}^{2} na prostorech L^{2}(R, dx) a L^{2}([0, 1], dx)

V tomto odstavci ukážeme užití Kreinovy formule při vyšetřování spektrálních vlastností operátorů. V odstavci 3.1 se budeme zabývat operátorem −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}(R, dx), v následujícím odstavci 3.2 pak operátorem −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}([0, 1], dx). Výsledky získané v odstavci 3.2 nám pak poslouží při zobecňování Kreinovy formule.

3.1 Operátor −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}(R, dx)

Uvažme operátor X = −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}(R, dx) s definičním oborem D(X) = {ψ ∈ L^{2}(R, dx) | ψ ∈ C_{0}^{∞}(R\{0})}. Užitím metody zobecněných funkcí (viz dodatek 6.2) dostaneme

X^{∗} = −∂_{x}^{2}  (9)
D(X^{∗}) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}(R\{0}) a ψ′′ ∈ L^{2}}

\overline{X} = X^{∗∗} = −∂_{x}^{2}  (10)
D(\overline{X}) = \{ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}(R), ψ′′ ∈ L^{2}, ψ(0) = ψ′(0) = 0\}.

Snadno zjistíme, že indexy defektu operátoru X jsou (2, 2). Přitom v defektních podprostorech je možno zvolit ortonormální báze

N (z) = span{φ_{z}^{1}, φ_{z}^{2}} ,  (11)

φ_{z}^{1}(x) = \{ \begin{matrix}C(z) exp(i\sqrt{z}x) & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{matrix}

φ_{z}^{2}(x) = \{ \begin{matrix}0 & x > 0 \\ C(z) exp(−i\sqrt{z}x) & x < 0 \end{matrix}

N (z̄) = span{φ1 ; z̄, φ2 ; z̄} ,  (12)

φ1 ; z̄(x) = \{ \begin{matrix}C(z) exp(i\sqrt{z̄}x) & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{matrix}

φ2 ; z̄(x) = \{ \begin{matrix}0 & x > 0 \\ C(z) exp(−i\sqrt{z̄}x) & x < 0 \end{matrix}

Im \sqrt{z} > 0, C(z) = \sqrt{−2Re(i\sqrt{z})}

Samosdružená rozšíření operátoru X jsou tedy ve vzájemně jednoznačné korespondenci s prvky grupy U(2). Budeme se zabývat 1-parametrickou podtřídou samosdružených rozšíření H_{α} určenou operátory V_{α}(z), jejichž matice ve výše definovaných bázích má tvar

( \begin{matrix}\frac{−1−v(z)}{2} & \frac{1−v(z)}{2} exp(iα) \\ \frac{1−v(z)}{2} exp(−iα) & \frac{−1−v(z)}{2} \end{matrix} )

v(z) = −\frac{z}{|z|} .

Tyto operátory jsou určeny hraničními podmínkami

ψ(0+) = exp(iα)ψ(0−), ψ′(0+) = exp(iα)ψ′(0−) ,  (13)

a tedy

H_{α} = −∂_{x}^{2}  (14)
D(H_{α}) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}(R), ψ′′ ∈ L^{2}, + hraniční podmínky (13)}. (15)

Pomocí Kreinovy formule můžeme nyní porovnat rezolventy operátoru H_{α} a H_{0}. Z Dodatku (6.1) víme, že Greenova funkce tvoří jádro rezolventy jako integrálního operátoru. Z Kreinovy formule můžeme tedy dostat přímo vztah pro Greenovy funkce operátorů H_{α}

G_{z}^{α}(x, y) − G_{z}^{0}(x, y) =  (16)

= \frac{1 − v(z̄)}{2(z̄ − z)}((exp(iα) − 1)φ_{z}^{2}(x)\overline{φ1 ; z̄(y)} + (exp(−iα) − 1)φ_{z}^{1}(x)\overline{φ2 ; z̄(y)})

Tvar G_{z}^{0}(x, y) jsme však nalezli přímo v Dodatku (6.1). Můžeme tedy psát

G_{z}^{α}(x, y) = \frac{i}{2\sqrt{z}} exp(−i\frac{α}{2}(sgn x − sgn y)) exp(i\sqrt{z}|x − y|) .  (17)

Poznamenejme, že vzhledem k naší konvenci Im \sqrt{z} > 0 platí \overline{\sqrt{z̄}} = −\sqrt{z}. Zabývejme se nyní operátorem H_{0}. Operátor H_{0} má pouze spojité spektrum, σ = σ_{c} = [0, +∞). Nalezneme jeho zobecňené vlastní funkce. Podle Stoneovy formule platí

\frac{1}{2}(P_{[a,b]} + P_{(a,b)}) = lim_{ε→0+} \frac{1}{2πi} ∫_{a}^{b}[(H_{0} − λ − iε)^{−1} − (H_{0} − λ + iε)^{−1}] dλ , (18)

kde limita na pravé straně výrazu je ve smyslu silné operátorové topologie. Zvolme P_{a} := P_{(−∞,a)}. Vzhledem k tomu, že H_{0} nemá vlastní čísla, ze Stoneovy formule dostaneme

P_{a} = lim_{ε→0+} \frac{1}{2πi} ∫_{−∞}^{a}[(H_{0} − λ − iε)^{−1} − (H_{0} − λ + iε)^{−1}] dλ  (19)

Ukážeme, že za množinu M z Dodatku 6.3 můžeme zvolit spektrum operátoru H_{0} a za míru dσ Lebesgueovu míru dλ. Zobecňené vlastní funkce hledejme ve tvaru

(Φ(λ), φ) = (Uφ)(λ) = ∫_{R} \overline{ψ_{λ}(x)}φ(x) dx ∀φ ∈ H_{+} ;  (20)

přitom požadujeme

(U^{−1}f)(x) = ∫_{σ_{c}} ψ_{λ}(x)f(λ) dλ ∀f ∈ L^{2}(σ_{c}, dλ) .  (21)

Určení H_{+} se budeme věnovat později. Víme, že při dané unitární transformaci musí operátor H_{0} přejít v operátor násobení funkcí na L^{2}(σ_{c}, dλ). Budeme požadovat, aby tato funkce měla tvar a(λ) := λ ∀λ ∈ σ_{c}. Situaci komplikuje fakt, že spektrum je dvojnásobné. Nalezneme nyní funkce ψ_{λ} a prostor H_{+} tak, aby ∀λ ∈ σ_{c} funkcionály Φ(λ) představovaly zobecněné vlastní funkce operátoru H_{0} ve smyslu definice v Dodatku 6.3.

Protože operátor H_{0} přejde unitární transformací v operátor násobení λ, musí operátor P_{a} při stejné transformaci přejít v operátor násobení charakteristickou funkcí χ_{(−∞,a)} intervalu (−∞, a). Můžeme tedy psát

(P_{a}φ)(x) = ∫_{−∞}^{a} ψ_{λ}(x)(∫_{R} \overline{ψ_{λ}(y)}φ(y) dy) dλ ,  (22)

neboli P_{a} je integrální operátor s jádrem

P_{a}(x, y) = ∫_{−∞}^{a} ψ_{λ}(x)\overline{ψ_{λ}(y)} dλ .  (23)

Ze vztahu (19) pak dostaneme

ψ_{λ}(x)\overline{ψ_{λ}(y)} = lim_{ε→0+} \frac{1}{2πi}(G_{λ+iε}^{0}(x, y) − G_{λ−iε}^{0}(x, y)) .  (24)

Pravá strana rovnosti (24) přejde v limitě na

\frac{1}{4π\sqrt{λ}}(exp(i\sqrt{λ}(x − y)) + exp(−i\sqrt{λ}(x − y))) .  (25)

Vidíme, že ji můžeme vyjádřit jako ψ_{λ}^{1}(x)\overline{ψ_{λ}^{1}(y)} + ψ_{λ}^{2}(x)\overline{ψ_{λ}^{2}(y)}, kde

ψ_{λ}^{1}(x) = \frac{λ^{−1/4}}{2\sqrt{π}} exp(i\sqrt{λ}x), ψ_{λ}^{2}(x) = \frac{λ^{−1/4}}{2\sqrt{π}} exp(−i\sqrt{λ}x) .  (26)

Spojité spektrum je ”dvojnásobně degenerované”, tj. každému λ ∈ σ_{c} příslušejí dva funkkcionály Φ^{1}, Φ^{2} na H_{+}, generované funkcemi (26). Abychom respektovali unitaritu zobrazení U, musíme vzhledem k dvojnásobné degeneraci místo prostoru L^{2}(σ_{c}, dx) uvážit prostor L^{2}(σ_{c}, dx) ⊗ C^{2} ≡ L^{2}(σ_{c}, dx) ⊕ L^{2}(σ_{c}, dx). Pro všechna λ ∈ σ_{c} budeme definovat

Φ(λ) = Φ^{1}(λ) ⊕ Φ^{2}(λ) .  (27)

Unitární zobrazení U bude potom působit jako

U : L^{2}(R, dx) ⟼ L^{2}(σ_{c}, dx) ⊕ L^{2}(σ_{c}, dx)  (28)
(Uφ)(λ) = φ̂^{1}(λ) ⊕ φ̂^{2}(λ) ,

φ̂^{1}(λ) = \frac{λ^{−1/4}}{2\sqrt{π}} ∫_{R} exp(i\sqrt{λ}x)φ(x) dx
φ̂^{2}(λ) = \frac{λ^{−1/4}}{2\sqrt{π}} ∫_{R} exp(−i\sqrt{λ}x)φ(x) dx .

Takto definované zobrazení U je skutečně unitární, nebot’ platí

∫_{R} |φ(x)|^{2} dx = ∑_{j=1}^{2} ∫_{0}^{+∞} |φ̂^{j}(λ)|^{2} dλ .  (29)

Pravá strana (29) není totiž nic jiného než ||F φ||^{2}, kde F je klasická Fourierova transformace.

Zbývá vyřešit otázku volby prostoru H_{+}. Můžeme definovat H_{+} := {φ ∈ L^{2}(R, dx) | φ ∈ AC^{(1)}(R), φ ∈ L^{2}(R, (1 + x^{2})dx), φ′′ ∈ L^{2}(R, dx)}, s normou

||φ||_{+}^{2} := ∫ ((1 + x^{2})|φ(x)|^{2} + |φ′′(x)|^{2}) dx .  (30)

Integrály určující funkcionály Φ^{1}, Φ^{2} pak budou určitě konvergovat, nebot’ podle Hölderovy nerovnosti platí

|∫ exp(ikx)φ(x) dx| ≤ ∫ |φ(x)|\frac{(1 + x^{2})^{1/2}}{(1 + x^{2})^{1/2}} dx =  (31)

= \sqrt{∫ |φ(x)|^{2}(1 + x^{2}) dx} \sqrt{∫ \frac{dx}{1 + x^{2}}} < +∞ .

3.2 Operátor −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}([0, 1], dx)

Uvažme operátor X = −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}([0, 1], dx) s definičním oborem D(X) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]), ψ′′ ∈ L^{2}, ψ(0) = ψ(1) = 0, ψ′(1) = 0}. Snadno nahlédneme, že se jedná o symetrický uzavřený operátor, a podle Dodatku 6.2 platí

X^{∗} = −∂_{x}^{2}  (32)
D(X^{∗}) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]), ψ(0) = 0} .

Za báze defektních podprostorů můžeme tentokrát zvolit

N (z) = span\{φ_{z}\}, φ_{z}(x) = K(z) sin(\sqrt{z}x)  (33)
N (z̄) = span\{φz̄\}, φz̄(x) = K(z) sin(\sqrt{z̄}x)

Im\sqrt{z} > 0, K(z) = \frac{1}{2}[−\frac{sin(\overline{\sqrt{z}} + \sqrt{z})}{\overline{\sqrt{z}} + \sqrt{z}} + \frac{sin(\sqrt{z} − \overline{\sqrt{z}})}{\sqrt{z} − \overline{\sqrt{z}}}] .

Indexy defektu jsou (1, 1) a tedy existuje 1-parametrická třída samosdružených rozšíření

H_{g} = −∂_{x}^{2}  (34)

D(H_{g}) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]), ψ′′ ∈ L^{2}, ψ(0) = 0, ψ(1) − gψ′(1) = 0} .

Přitom samosdružená rozšíření H_{g} jsou určena unitárními zobrazeními V_{g}(z), jejichž matice ve výše definovaných bázích má tvar

(\frac{sin \sqrt{z} − g\sqrt{z} cos \sqrt{z}}{\overline{sin \sqrt{z}} − g\overline{\sqrt{z} cos \sqrt{z}}} )  (35)

Kreinova formule nám opět umožňuje porovnat Greenovy funkce operátorů H_{g} a H_{0}. Jelikož jsme Greenovu funkci operátoru H_{0} nalezli v Dodatku 6.1, můžeme psát (pro 0 ≤ x ≤ y ≤ 1)

G_{z}^{g}(x, y) = \frac{sin(\sqrt{z}x) cos(\sqrt{z}y)}{\sqrt{z}} − \frac{sin(\sqrt{z}x) sin(\sqrt{z}y)}{\sqrt{z}} \frac{cos \sqrt{z} + g\sqrt{z} sin \sqrt{z}}{sin \sqrt{z} − g\sqrt{z} cos \sqrt{z}} . (36)

Z obecné spektrální teorie víme, že pro operátor A s vlastním číslem λ platí

P_{λ} = −\frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{λ}}(A − z)^{−1} dz ,  (37)

kde Γ_{λ} je libovolná Jordanova dráha pro niž platí, že λ je jediné vlastní číslo ležící uvnitř Int Γ_{λ}. P_{λ} je projektor na vlastní podprostor příslušný vlastnímu číslu λ. Jelikož póly rezolventy jsou právě vlastní čísla, ze vztahu (36) vidíme, že vlastní čísla operátoru H_{g} musí splňovat rovnici

sin \sqrt{λ} − g\sqrt{λ} cos \sqrt{λ} = 0 .  (38)

V bodech, které splňují rovnici (38), má Greenova funkce (a tedy i rezolventa) jednoduché póly. Můžeme tedy spočítat reziduum podle vztahu

(rez_{λ} G_{z}^{g})(x, y) = lim_{z→λ}(z − λ)G_{z}^{g}(x, y) .

Podle reziduové věty musí platit

(rez_{λ} G_{z}^{g})(x, y) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{λ}} G_{z}^{g}(x, y) dz ,

a tedy podle vztahu (37) musí být až na znaménko (rez_{λ} G_{z}^{g})(x, y) rovno jádru projektoru P_{λ}. Snadným výpočtem dostaneme

−(rez_{λ} G_{z}^{g})(x, y) = 2 sin(\sqrt{λ}x) sin(\sqrt{λ}y) ,  (39)

a tedy vlastní hodnoty jsou nedegenerované a pro příslušné normované vlastní funkce platí

φ_{λ}(x) = \sqrt{2} sin(\sqrt{λ}x) .  (40)

4 Karnerova formule

Ze vzorců (37) v odstavci 3.2 a (18) v odstavci 3.1 je vidět, jak velký význam má ve spektrální teorii znalost rezolventy. V případě, že daný operátor patří do třídy operátorů zkonstruovaných jako samosdružená rozšíření daného operátoru X a jestliže pro jeden z nich umíme nalézt rezolventu přímo, můžeme pak užitím Kreinovy formule nalézt rezolventu pro libovolný další. Nyní se budeme zabývat další formulí pro rezolventu, tzv. Karnerovou formulí. Její zobecnění pro spojitý případ zformulujeme v následujícím odstavci.

Věta (Karnerova formule). Necht’ H_{1} a H_{2} jsou dva Hilbertovy prostory konečné dimenze. Označme K := H_{1}⊗H_{2}. Necht’ dále {P_{k}}_{k=1}^{M}, {Q_{j}}_{j=1}^{N} jsou úplné systémy projektorů na prostoru H_{1}, Q_{k}Q_{k′} = δ_{kk′}Q_{k}, ∑_{k} Q_{k} = I, P_{j}P_{j′} = δ_{jj′}P_{j}, ∑_{j} P_{j} = I. Označme

D := ∑_{k=1}^{M} λ_{k}Q_{k}

K_{0} := D ⊗ I + I ⊗ H_{0}

K := D ⊗ I + ∑_{j=1}^{N} P_{j} ⊗ H_{j}

Λ(z) := ∑_{j=1}^{N} ∑_{k=1}^{M} P_{j}Q_{k} ⊗ ((H_{j} + λ_{k} − z)^{−1} − (H_{0} + λ_{k} − z)^{−1}) ,

kde {λ_{k}}_{k=1}^{M} jsou komplexní čísla a {H_{i}}_{i=0}^{N} zadané samosdružené operátory na prostoru H_{2}. Potom platí

(K − z)^{−1} = ((K_{0} − z)^{−1} + Λ(z))(I + [D ⊗ I, Λ(z)])^{−1} .  (41)

Pozn. (K − z)^{−1}, (K_{0} − z)^{−1} a Λ(z) jsou meromorfní funkce s hodnotami v prostoru L(H_{1} ⊗ H_{2}) a všechny konvergují k 0 pro |z| → +∞. Platí tedy, že det(I+[D⊗I, Λ(z)]) je meromorfní funkce s konečným počtem pólů, jejíž hodnota konverguje k 1 pro |z| → +∞. Takto funkce má nutně konečný počet nul a rovnost (41) má smysl až na konečně mnoho bodů z ∈ C.

Důkaz.

Předpokládejme, že z ∈ C je zvoleno tak, aby všechny členy v (41) byly dobře definovány. Vztah (41) můžeme vynásobením zprava výrazem (I +[D⊗I, Λ(z)]), zleva výrazem (K − z) a opět zprava výrazem (K_{0} − z) převést na ekvivalentní vztah

K_{0} − K = (Λ(z)(D ⊗ I) + (∑_{j=1}^{N} P_{j} ⊗ (H_{j} − z))Λ(z))(K_{0} − z) . (42)

Stačí tedy ověřit platnost výrazu (42); zabývejme se proto jeho pravou stranou. Platí

Λ(z)(D ⊗ I) = ∑_{j} ∑_{k} P_{j}Q_{k} ⊗ λ_{k}((H_{j} + λ_{k} − z)^{−1} − (H_{0} + λ_{k} − z)^{−1}) , (43)

(∑_{j=1}^{N} P_{j} ⊗ (H_{j} − z))Λ(z) =  (44)

= ∑_{j} ∑_{k} P_{j}Q_{k} ⊗ (H_{j} − z)((H_{j} + λ_{k} − z)^{−1} − (H_{0} + λ_{k} − z)^{−1}) .

Tak dostáváme

(Λ(z)(D ⊗ I) + (∑_{j=1}^{N} P_{j} ⊗ (H_{j} − z))Λ(z))(K_{0} − z) =  (45)

= (∑_{j} ∑_{k} P_{j}Q_{k} ⊗ (H_{j} + λ_{k} − z)((H_{j} + λ_{k} − z)^{−1} − (H_{0} + λ_{k} − z)^{−1}))(K_{0} − z) =

= (K_{0} − z)−

−(∑_{j} ∑_{k} P_{j}Q_{k} ⊗ (H_{j} + λ_{k} − z)(H_{0} + λ_{k} − z)^{−1})(K_{0} − z) =

= −(∑_{j} ∑_{k} P_{j}Q_{k} ⊗ (H_{j} − H_{0})(H_{0} + λ_{k} − z)^{−1})(K_{0} − z) =

= −(∑_{j} P_{j} ⊗ (H_{j} − H_{0}))(∑_{k} Q_{k} ⊗ (H_{0} + λ_{k} − z)^{−1})(K_{0} − z) =

= (K_{0} − K)(∑_{k} Q_{k} ⊗ (H_{0} + λ_{k} − z))^{−1}(K_{0} − z) = K_{0} − K ,

což dokazuje vztah (42).

5 Formulace zobecnění Karnerovy formule pro spojitý případ

V odstavci 3.2 jsme se zabývali třídou samosdružených rozšíření {H_{g}}_{g∈R} charakterizovanou hraničními podmínkami

ψ(0) = 0, ψ(1) − gψ′(1) = 0 .  (46)

Nechme nyní parametr g záviset na parametru t jako

g ≡ g(t) = β sin ωt  (47)

ω = \frac{2π}{T} , β = const.

Necht’ H_{1} := L^{2}([0, T], dt), H_{2} := L^{2}([0, 1], dx), K := H_{1}⊗H_{2} ≡ L^{2}([0, T], H_{2}, dt). Používáme přitom standardní ztotožnění

ψ ⊗ φ ≡ ψ̃ ∈ L^{2}([0, T], H_{2}, dt),  (48)
ψ̃(t) := ψ(t)φ .

Uvažme operátor −i∂_{t} na prostoru H_{1} s definičním oborem

D(−i∂_{t}) = {f ∈ H_{1} | f ∈ AC^{(1)}([0, T]), f′ ∈ H_{1}, f(0) = f(T)} .  (49)

Tento operátor má čistě bodové spektrum {nω}_{n=−∞}^{+∞} a tedy

−i∂_{t} = ∑_{n=−∞}^{+∞} nωQ_{n} ,  (50)
Q_{n}ψ =< f_{n}, ψ > f_{n} ,

kde f_{n} jsou normované vlastní funkce příslušné vlastním číslům λ_{n} = nω

f_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{T}} exp(inωt) .  (51)

Definujme nyní formálně operátory P (τ) jako ”projektory na δ-funkce”

(P (τ)ψ)(t) := ψ(τ)δ(t − τ) .  (52)

Zabývejme se nyní formálním operátorem

∫_{0}^{T} P (τ) ⊗ H(τ) dτ ,  (53)

kde H(τ) jsou samosdružená rozšíření (34) z odstavce 3.2 pro g = g(τ). Necht’ ψ ⊗ φ ∈ H_{1} ⊗ H_{2} ≡ L^{2}([0, T], H_{2}, dt). Užijeme-li formálních záměn v integraci, můžeme psát

((∫_{0}^{T} P (τ) ⊗ H(τ) dτ )ψ ⊗ φ)(t) = (∫_{0}^{T} P (τ)ψ ⊗ H(τ)φ dτ )(t) =  (54)

= ∫_{0}^{T} (P (τ)ψ)(t) ⊗ H(τ)φ dτ = ∫_{0}^{T} ψ(τ)δ(t − τ)H(τ)φ dτ =
= H(t)(ψ(t)φ) .

Vidíme, že formálnímu operátoru (53) lze dát dobrý smysl, definujeme-li ho jako

∫_{0}^{T} P (τ) ⊗ H(τ) dτ := ∫_{0}^{T ⊕} H(t) dt ,  (55)

kde

((∫_{0}^{T ⊕} H(t) dt)ψ̃)(t) = H(t)ψ̃(t) .

Definujme nyní operátory

K_{0} := −i∂_{t} ⊗ I + I ⊗ H(0) ≡ −i∂_{t} + H(0) ,  (56)
K := −i∂_{t} ⊗ I + ∫_{0}^{T ⊕} H(t) dt ≡ −i∂_{t} + ∫_{0}^{T ⊕} H(t) dt .  (57)

Zformulujeme vyjádření pro rezolventu operátoru K analogické Karnerově formuli předchozího odstavce. Přitom budeme vycházet z korespondence

Q_{j} ⟷ Q_{n} ve vztahu (50)  (58)
λ_{n} ⟷ nω
P_{j} ⟷ P (τ)
D ⟷ −i∂_{t}
∑_{j} P_{j} ⊗ H_{j} ⟷ ∫_{0}^{T} P (τ) ⊗ H(τ) dτ := ∫_{0}^{T ⊕} H(t) dt

Λ(z) ⟷ ∑_{k=−∞}^{+∞}(∫_{0}^{T ⊕} dt(R_{z−λ_{k}}(t) − R_{z−λ_{k}}(0)))(Q_{k} ⊗ I) , (59)

kde R_{z−λ_{k}}(t) = (H(t) + λ_{k} − z)^{−1}. Vzhledem k (59) bude potom

(Λ(z)ψ̃)(t) := ∑_{k=−∞}^{+∞} f_{k}(t)(R_{z−λ_{k}}(t) − R_{z−λ_{k}}(0)) ∫_{0}^{T} \overline{f_{k}(τ)}ψ̃(τ) dτ .  (60)

Tento (již korektně definovaný) operátor Λ(z) je jistě definovaný hustě, nebot’ řada na pravé straně (60) konverguje určitě pro ψ̃(t) = f_{k}(t)φ, ∀k ∈ Z, ∀φ ∈ H_{2}.

Operátor K definovaný vztahem (57) představuje tzv. Floquetův hamiltonián. Otázkou zůstává, platí-li pro něj vzhledem k naší korespondenci analogie (41).

6 Dodatky

6.1 Greenova funkce

Uvažme diferenciální operátor X := −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}([0, 1], dx) s definičním oborem D(X) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]), ψ′′ ∈ L^{2}, ψ(0) = ψ(1) = 0}. Řešme úlohu

(X − z)u = f  (61)

pro dané f ∈ L^{2}([0, 1], dx) a předpokládejme, že z ∉ σ(X). Za těchto předpokladů víme, že existuje právě jedno řešení úlohy (61) ve tvaru

u = R_{X}(z)f ≡ (X − z)^{−1}f .  (62)

Dá se ukázat^{1}, že v daném případě můžeme řešení vyjádřit jako

u(x) = ∫_{[0,1]} G_{z}(x, y)f(y) dy ,  (63)

kde G_{z} je tzv. Greenova funkce úlohy (61). Shrneme zde konstrukci a základní vlastnosti této funkce.

Uvažujme řešení rovnic

(−∂_{x}^{2} − z)ψ_{−} = 0, ψ_{−}(0) = 0 ,  (64)

a analogicky

(−∂_{x}^{2} − z)ψ_{+} = 0, ψ_{+}(1) = 0 .  (65)

Greenova funkce je pak rovna

G_{z}(x, y) = −\frac{1}{w(0)} \{ \begin{matrix}ψ_{−}(x)ψ_{+}(y) & 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 \\ ψ_{+}(x)ψ_{−}(y) & 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 , \end{matrix}

kde w(x) je Wronského determinant

w(x) = | \begin{matrix}ψ_{−}(x) & ψ_{+}(x) \\ ψ−^{′}(x) & ψ+^{′}(x) \end{matrix} | .

Greenova funkce splňuje celou řadu důležitých vlastností:

1viz [4]

1. G_{z} je spojitá na množině Π = [0, 1] × [0, 1], G_{z} ∈ C^{(2)}[0 ≤ x ≤ y ≤ 1], G_{z} ∈ C^{(2)}[0 ≤ y ≤ x ≤ 1].

2. G_{z} je symetrická, tj.

G_{z}(x, y) = G_{z}(y, x), (x, y) ∈ Π .

3. Na diagonále x = y splňuje

\frac{∂G_{z}(y + 0, y)}{∂x} − \frac{∂G_{z}(y − 0, y)}{∂x} = −1, y ∈]0, 1[ .

4. Mimo diagonálu x = y splňuje homogenní rovnici

(−∂_{x}^{2} − z)G_{z}(x, y) = 0, x ≠ y, (x, y) ∈ Π .

5. Pro pevné y splňuje G_{z} hraniční podmínky na obou koncích, tj.

G_{z}(0, y) = G_{z}(1, y) = 0 .

6. G_{z} vyhovuje pro pevné y ∈]0, 1[ ve smyslu zobecňených funkcí rovnici

(−∂_{x}^{2} − z)G_{z}(x, y) = δ(x − y), x ∈]0, 1[ .

Pro naše hraniční podmínky snadno nalezneme

ψ_{−}(x) = sin(\sqrt{z}x)  (66)
ψ_{+}(x) = sin(\sqrt{z}(x − 1))
Im\sqrt{z} > 0 ,

a Greenova funkce bude tedy rovna

G_{z}(x, y) = −\frac{1}{\sqrt{z} sin(\sqrt{z})} \{ \begin{matrix}sin(\sqrt{z}x) sin(\sqrt{z}(y − 1)) & 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 \\ sin(\sqrt{z}(x − 1)) sin(\sqrt{z}y) & 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 . \end{matrix}

Greenovu funkci lze však v daném případě nalézt i jiným způsobem. Snadno totiž zjistíme, že náš operátor X má nedegenerované čistě bodové spektrum {n^{2}π^{2}}_{n=1}^{+∞} s odpovídajícími normovanými vlastními funkcemi φ_{n}(x) = \sqrt{2} sin(nπx). Operátor X má tedy spektrální rozklad

X = ∑_{n=1}^{+∞} λ_{n}P_{n} ,  (67)

kde λ_{n} jsou vlastní čísla a P_{n} odpovídající projektory na jednorozměrné vlastní podprostory

P_{n}f =< φ_{n}, f > φ_{n} .  (68)

Vzhledem k tomu, že Greenova funkce představuje jádro rezolventy (uvažované jako integrální operátor), dostaneme z relace (67) vyjádření Greenovy funkce ve formě řady

G_{z}(x, y) = 2 ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin(nπx) sin(nπy)}{n^{2}π^{2} − z} .  (69)

Uvažujme nyní zobecnění Greenovy funkce pro případ, kdy operátor X := −∂_{x}^{2} působí na prostoru L^{2}(R, dx). Za jeho defininiční obor vezměme D(X) = {ψ ∈ L^{2}(R, dx) | ψ ∈ AC^{(1)}(R), ψ′′ ∈ L^{2}(R, dx)}. Nyní budeme uvažovat řešení rovnic

(−∂_{x}^{2} − z)ψ_{−} = 0, lim_{x→−∞} ψ_{−}(x) = 0 ,  (70)
(−∂_{x}^{2} − z)ψ_{+} = 0, lim_{x→+∞} ψ_{+}(x) = 0 .  (71)

Tyto podmínky jsou analogické okrajovým podmínkám předešlého případu. Vyplývají z toho, že každá absolutně spojitá funkce ψ na R musí splňovat

lim_{|x|→+∞} ψ(x) = 0 .  (72)

Nyní bude

ψ_{−}(x) = exp(−i\sqrt{z}x)  (73)
ψ_{+}(x) = exp(i\sqrt{z}x)
Im\sqrt{z} > 0 ,
w(0) = 2i\sqrt{z} ,  (74)

a tedy

G_{z}(x, y) = −\frac{1}{2i\sqrt{z}} \{ \begin{matrix}exp(−i\sqrt{z}x) exp(i\sqrt{z}y) & x ≤ y \\ exp(i\sqrt{z}x) exp(−i\sqrt{z}y) & y ≤ x \end{matrix} \} =

= −\frac{1}{2i\sqrt{z}} exp(i\sqrt{z}|x − y|) .

6.2 Konstrukce sdružených operátorů užitím zobecněných funkcí

V tomto dodatku ukážeme, jak lze s výhodou použít teorii zobecněných^{2} funkcí ke konstrukci definičních oborů sdružených operátorů.

2o teorii zobecněných funkcí podrobněji např. v [4]

Lemma. Necht’ f je regulární distribuce^{3} jejíž zobecněná derivace η je opět regulární. Pak f je jako funkce absolutně spojitá a platí

f′(x) = η(x) pro s.v. x  (75)

Důkaz.

Platí

(f′, φ) = − ∫ f(x)φ′(x) dx = ∫ η(x)φ(x) dx =  (76)

= ∫ h′(x)φ(x) dx = − ∫ h(x)φ′(x) dx = (h′, φ), ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(R),

kde jsme označili h(x) := ∫_{0}^{x} η(t) dt (η je lokálně integrabilní) a užili metody per partes. Srovnáním prvního a posledního členu v (76) dostáváme

((f − h)′, φ) = 0, ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(R) ,  (77)

a tedy

f = h + const. ve smyslu distribucí .  (78)

Podle du Bois Reymondova lemmatu pak musí platit

f(x) = h(x) + const. pro s.v. x  (79)

Dostáváme tak vztah

f(x) = ∫_{0}^{x} η(t) dt + const.  (80)

ze kterého bezprostředně plyne tvrzení lemmatu.

Q.E.D.

Pozn. Jak snadno vyplývá z důkazu, lze uvedenou lemmu zobecnit pro případ n-té derivace. Dostáváme tedy následující: Necht’ f je regulární distribuce jejíž n-tá derivace η je opět regulární. Pak f je jako funkce třídy AC^{(n−1)} a platí f^{(n)}(x) = η(x) pro s.v. x.

Uvažujme nyní operátor X = −∂_{x}^{2} na L^{2}(R, dx) s definičním oborem D(X) = {ψ ∈ L^{2}(R, dx) | ψ ∈ C_{0}^{∞}(R\{0})}. Nalezneme sdružený operátor X^{∗}. Víme, že definitoricky

D(X^{∗}) = {ψ ∈ L^{2} | ∃η ∈ L^{2} ∀φ ∈ D(X) < ψ, Xφ >=< η, φ >} (81)
X^{∗}ψ := η .

3u regulárních distribucí budeme generující funkci a vlastní distribuci označovat stejným symbolem

Využijeme-li vlastností skalárního součinu, můžeme pro náš operátor podmínku (81) přepsat jako

ψ ∈ D(X^{∗}) ⇔ ∃η ∈ L^{2} (ψ̄, −φ′′) = (η̄, φ) ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(R\{0}) ,  (82)

kde jsme využili standardního párování, tj. η̄ představuje regulární distribuci

(η̄, φ) :=< η, φ >= ∫_{R} η̄(x)φ(x) dx ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(R\{0}) .  (83)

Podmínka (82) ovšem neříká nic jiného, než

ψ ∈ D(X^{∗}) ⇔ zobecněná derivace − ψ̄′′ ∈ L^{2}  (84)

Aplikujeme-li však na podmínku (84) zobecnění našeho lemmatu, dostáváme

ψ ∈ D(X^{∗}) ⇔ ψ̄ ∈ AC^{(1)}(R\{0}) a − ψ̄′′ ∈ L^{2} ,  (85)

nebo ekvivalentně

ψ ∈ D(X^{∗}) ⇔ ψ ∈ AC^{(1)}(R\{0}) a ψ′′ ∈ L^{2} .  (86)

Přitom

X^{∗}ψ = −ψ′′ .  (87)

Jako další příklad uvažme opět operátor X := −∂_{x}^{2}, tentokrát ale na prostoru L^{2}([0, 1], dx) s definičním oborem D(X) = {ψ ∈ L^{2} | ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]), ψ′′ ∈ L^{2}, ψ(0) = ψ(1) = 0, ψ′(1) = 0}. Z podmínky (81) nyní dostáváme

− ∫_{[0,1]} ψ̄(x)φ′′(x) dx = ∫_{[0,1]} η̄(x)φ(x) dx ∀φ ∈ D(X) .  (88)

Jelikož D(X) obsahuje jako podprostor jistě C_{0}^{∞}(]0, 1[), musí jistě opět platit

(ψ̄, −φ′′) = (η̄, φ), ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(]0, 1[) .  (89)

Ze zobecnění našeho lemmatu opět dostaneme

ψ ∈ D(X^{∗}) ⇒ ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]) a ψ′′ ∈ L^{2} ,  (90)

a navíc

X^{∗}ψ := η = −ψ′′ .  (91)

Nyní ve vztahu (90) však neplatí ekvivalence, protože jsme zatím podmínku (81) splnili pouze pro funkce z prostoru C_{0}^{∞}(]0, 1[), který ale není totožný s D(X). Podmínka bude splňena ∀φ ∈ D(X), právě když

− ∫_{[0,1]} ψ̄(x)φ′′(x) dx = −[ψ̄(x)φ′(x)]_{0}^{1} + [ψ̄′(x)φ(x)]_{0}^{1} −  (92)
− ∫_{[0,1]} ψ̄′′(x)φ(x) dx = ∫_{[0,1]} η̄(x)φ(x) dx .

Zde jsme využili dvojnásobnou integraci per partes, která je oprávněná, protože již víme, že funkce z D(X^{∗}) musí náležet AC^{(1)}([0, 1]). Vzhledem k hraničním podmínkám, které splňují funkce z D(X), a jelikož η = −ψ′′, z rovnosti (92) vidíme, že kromě vztahu (90) musí navíc ještě platit ψ(0) = 0. Konečně tedy máme

ψ ∈ D(X^{∗}) ⇔ ψ ∈ AC^{(1)}([0, 1]), ψ′′ ∈ L^{2}, ψ(0) = 0 .  (93)

Přitom

X^{∗}ψ = −ψ′′ .  (94)

6.3 Zobecněné vlastní funkce

V tomto dodatku se budeme zabývat přiřazením tzv. zobecněných vlastních funkcí bodům spojité části spektra samosdružených operátorů.

Bud’ H Hilbertův prostor se skalárním součinem < ., . > a normou ||.||. Bud’ dále H_{+} ⊂ H, \overline{H_{+}} = H Banachův prostor s normou ||.||_{+} . Přitom předpokládejme, že vložení

j : H_{+} ⟼ H, jx := x ∀x ∈ H_{+}  (95)

představuje spojité lineární zobrazení. Označme dále H_{−} prostor vsech spojitých lineárních funkcionálů na H_{+}, tj. H_{−} ≡ H_{+}^{#}. Ze spojitosti zobrazení j plyne, že každý prvek h ∈ H lze ztotožnit se spojitým lineárním funkcionálem ĥ na H_{+} způsobem

(ĥ, h_{+}) :=< h, h_{+} > ∀h_{+} ∈ H_{+} .  (96)

Při tomto ztotožnění dostáváme trojici prostorů ve vzájemném vztahu

H_{+} ⊂ H ⊂ H_{−} .  (97)

Definice. Každou trojici prostorů (97) s výše uvedenými vlastnostmi nazýváme vystrojením Hilbertova prostoru H .

Příklad: Uvedeme příklad konstrukce takového vystrojení. Bud’ K spojitý lineární operátor na prostoru H, který splňuje

Ker K = Ker K^{∗} = 0 .  (98)

Definujme H_{+} := KH se skalárním součinem

< h_{+}^{1}, h_{+}^{2} >_{+} :=< K^{−1}h_{+}^{1}, K^{−1}h_{+}^{2} > ∀h_{+}^{1}, h_{+}^{2} ∈ H_{+} .  (99)

Spojitost vložení j nyní vyplývá ze spojitosti operátoru K.

Věta. Bud’ H_{+} ⊂ H ⊂ H_{−} výše popsané vystrojení Hilbertova prostoru H. Potom prostor H_{−} představuje uzávěr prostoru H vzhledem k topologii určené skalárním součinem

< h_{1}, h_{2} >_{K} :=< K^{∗}h_{1}, K^{∗}h_{2} > ∀h_{1}, h_{2} ∈ H .  (100)

Důkaz.

Stačí ukázat, že v daném případě platí

||h||_{−}^{2} = ||h||_{K}^{2} ∀h ∈ H ,  (101)

přičemž prostor H je hustý v prostoru H_{−} v topologii H_{−}.

Platí

< h, h_{+} >=< h, K(K^{−1}h_{+}) >=< K^{∗}h, K^{−1}h_{+} > ,  (102)

odkud dostáváme

||h||_{−} = sup_{||h_{+}||_{+}=1} | < h, h_{+} > | = sup_{||K^{−1}h_{+}||=1} | < h, h_{+} > | = (103)

= sup_{||K^{−1}h_{+}||=1} | < K^{∗}h, K^{−1}h_{+} > | = sup_{h_{1}∈H, ||h_{1}||=1} | < K^{∗}h, h_{1} > | = ||K^{∗}h|| .

Předpokládejme nyní, že \overline{H} ≠ H_{−}. Existuje tedy vektor h_{−} ∈ H_{−}, h_{−} ≠ 0 tak, že platí

< h_{−}, h >_{−} = 0 ∀h ∈ H ,  (104)

tj. existuje φ ∈ H_{−}^{#}, φ ≠ 0 tak, že φ(H) = 0. Jelikož každý Hilbertův prostor je reflexivní, ∃h_{+} ∈ H_{+} tak, že φ(h) = (h, h_{+}) ∀h ∈ H. Protože h ∈ H, platí

(h, h_{+}) =< h, h_{+} > ,  (105)

a tedy dostáváme < h, h_{+} >= 0 ∀h ∈ H ⇒ h_{+} = 0 ⇒ φ = 0, což je spor.

Q.E.D.

Definice. Necht’ M je prostor s mírou dσ, H_{+} ⊂ H ⊂ H_{−} je pevně zvolené vystrojení Hilbertova prostoru H, A je samosdružený operátor na H. Zobrazení Φ : M ⟼ H_{−} nazveme úplným systémem ortogonálních zobecněných vlastních funkcí operátoru A, právě když platí

1. Φ je definovaná skoro všude na M.

2. ∀h_{+} ∈ H_{+} je funkce (Φ(.), h_{+}) prvkem prostoru L^{2}(M, dσ).

3. Zobrazení h_{+} ⟼ (Φ(.), h_{+}) lze prodloužit na izometrii U : H ⟼ L^{2}(M, dσ).

4. Existuje reálná funkce a, měřitelná a skoro všude konečná na M taková, že

platí

A = U^{−1}aU ,

kde a je operátor násobení funkcí na prostoru L^{2}(M, dσ).

Uvažme nyní samosdružený operátor A. Vzhledem k tomu, že je samosdružený, platí: f je vlastní vektor A příslušný k vlastnímu číslu λ, právě když

< f, Ag >= λ < f, g > ∀g ∈ D(A) .  (106)

Jestliže se nyní omezíme na g ∈ A^{−1}H_{+} ∩ H_{+}, mají obě strany rovnosti (106) samostatně smysl i pro obecné f ∈ H_{−}. Ukážeme, že pro skoro všechna m ∈ M platí analogie vztahu (106) pro f = Φ(m) a λ = a(m).

Necht’ φ : R ⟼ C je funkce taková, že složená funkce φ ∘ a je měřitelná a skoro všude konečná na M. Necht’ dále existuje operátor φ(A) := U^{−1}(φ ∘ a)U. Jestliže f ∈ D(A), f ≠ 0 a Af = λf, pak φ(A)f = φ(λ)f, a platí

< f, φ̄(A)g >= φ̄(λ) < f, g >, ∀g ∈ D(φ̄(A)) .  (107)

Poznamenejme, že je-li λ vlastním číslem operátoru A, je automaticky φ(λ) konečné číslo. Množina D = {m ∈ M | a(m) = λ} musí mít totiž nenulovou míru (jinak se dostáváme do sporu s tím, že λ je vlastní číslo A). Protože φ ∘ a je konečná skoro všude na M a zároveň φ(λ) = φ(a(m)) ∀m ∈ D, musí platit, že φ(λ) je konečná.

Necht’ Φ je úplný systém ortogonálních zobecňených vlastních funkcí operátoru A vzhledem k některému vystrojení Hilbertova prostoru H. Necht’ dále g ∈ H_{+} ∩ φ̄(A)^{−1}H_{+}. Potom z definice operátoru φ̄(A) a operátoru U dostáváme

(Φ(m), φ̄(A)g) = φ̄(a(m))(Φ(m), g) pro s.v. m ∈ M .  (108)

Označme M(g) ⊂ M podmnožinu M takovou, že |M\M(g)| = 0, φ∘a je konečná na M(g) a platí vztah (108). Tato množina může ovšem záviset na g, což nám neumožnuje zapsat vztah (108) univerzálně. Platí však následující

Lemma. Necht’ H_{+} je separabilní prostor. Pak existuje množina M_{0} ⊂ M taková, že |M\M_{0}| = 0, a vztah (108) platí ∀m ∈ M_{0} ∀g ∈ H_{+} ∩ φ̄(A)^{−1}H_{+}.

Důkaz.

Necht’ φ̄(A)_{+} je zúžení operátoru φ̄(A) na prostor H_{+} ∩ φ̄(A)^{−1}H_{+}. Ze separability H_{+} plyne, že graf operátoru φ̄(A)_{+} je separabilní podprostor v H_{+} ⊕ H_{+}. Vybereme-li v tomto grafu spočetnou hustou podmnožinu {g_{i}, φ̄(A)g_{i}}_{i=1}^{+∞} a položíme-li

M_{0} := ⋂_{i=1}^{+∞} M(g_{i}) ,  (109)

dostáváme platnost vztahu (108) ∀m ∈ M_{0} ∀g ∈ H_{+} ∩ φ̄(A)^{−1}H_{+} limitním přechodem z odpovídajících vztahů pro g_{i} (Φ(m) jsou spojité funkcionály).

Q.E.D.

Pro zobecněné vlastní funkce můžeme také definovat analogii Fourierovy transformace vztahem

f̂(m) := Uf = (Φ(m), f), ∀f ∈ H_{+} .  (110)

Z izometrie zobrazení U pak dostáváme analogii Parsevalovy rovnosti

||f||^{2} = ∫_{M} |f̂(m)|^{2} dσ ,  (111)

která umožňuje dodefinovat ”Fourierovu transformaci” ∀f ∈ H. Platí i vztah pro inverzní transformaci

f = ∫_{M} \overline{f̂(m)}Φ(m) dσ ,  (112)

kterému je třeba rozumět ve ”slabém smyslu”, tj. ∀h_{+} ∈ H_{+} platí

(f, h_{+}) = ∫_{M} \overline{f̂(m)}(Φ(m), h_{+}) dσ .  (113)

Reference

[1] T. Kato: Perturbation Theory for Linears Operators, Springer 1966 [2] G. Karner: DeL’application standard et L’application de Fermi en

mecaniques quantique et classique, Disertace, Toulon 1993

[3] P. Duclos, P. Št’ovíček: Floquet Hamiltonians with Pure Point Spectrum, Commun. Math. Phys. 177 (1996) 327-347

[4] V.S. Vladimirov: Uravněnija matěmatičeskoj fiziky, Nauka 1976

Obsah

1 Úvod 1

2 Kreinova formule 2

3 Užití Kreinovy formule - operátory −∂_{x}^{2} na prostorech L^{2}(R, dx) a L^{2}([0, 1], dx) 3 3.1 Operátor −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}(R, dx) . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Operátor −∂_{x}^{2} na prostoru L^{2}([0, 1], dx) . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Karnerova formule 8

5 Formulace zobecnění Karnerovy formule pro spojitý případ 10

6 Dodatky 12 6.1 Greenova funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2 Konstrukce sdružených operátorů užitím zobecněných funkcí … 14 6.3 Zobecněné vlastní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17