\documentclass{report}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsfonts}

\setlength{\unitlength}{1mm}

% obal
%\usepackage{graphicx}
\addtocounter{page}{-1}
\thispagestyle{empty} \sloppy \addtolength{\topmargin}{161mm}
\addtolength{\evensidemargin}{40mm} \addtolength{\hoffset}{-15mm}
%
\begin{document}
%
$\varrho(X)=\nabla_{\xi_{X}}+2\pi i\lambda_{X}$\\
\hspace{10mm}
%\includegraphics[scale=1]{hyp1m.eps}

\vspace{-50mm}
\begin{tabular}{cc}
  \hspace{50mm} & V\'yzkumn\'y \'ukol - \v skoln\'\i{} rok 1999 / 2000:\\[-3mm]
  & \rule{77mm}{0.2mm}\\[5mm]
  & {\large\bf Konstrukce reprezentac\'\i{} metodou orbit}\\
  & {\large\bf pro grupy $Sl_{q}(2,\mathbb{R})$}\\
  & \\
  & \\
\end{tabular}

\vspace{13mm}
\begin{tabular}{cll}
  \hspace{50mm} & {\sl Vypracoval:} & Ji\v r\'\i{} \v S\'ala\\
  & {\sl \v Skolitel:} & doc. Ing. Pavel \v S\v tov\'\i{}\v cek, CSc.\\
\end{tabular}
%
\newpage
\fussy \addtolength{\topmargin}{-161mm}
\addtolength{\evensidemargin}{-40mm} \addtolength{\hoffset}{15mm}
%\begin{document}
  \newcounter{def}[section]
  \renewcommand{\thedef}{\thesection.\arabic{def}}
  \newcommand{\definice}[1]{\refstepcounter{def}\paragraph*{Definice \thedef:} #1}
  \addtocounter{def}{1}

  \newcounter{citac}[section]
  \renewcommand{\thecitac}{\thesection.\arabic{citac}}
  \newcommand{\lemma}[1]{\refstepcounter{citac}\paragraph*{Lemma \thecitac:} #1}
  \newcommand{\dusledek}[1]{\refstepcounter{citac}\paragraph*{D\accent23usledek \thecitac:} #1}
  \addtocounter{citac}{1}

  \newcounter{pri}[section]
  \renewcommand{\thepri}{\thesection.\arabic{pri}}
  \newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{pri}\paragraph*{P\v r\'\i{}klad \thepri:} #1}
  \addtocounter{pri}{1}

  \tableofcontents

  \chapter{Metoda orbit}
  \section{Geometrick\'e kvantov\'an\'\i{}}
  Geometrick\'e kvantov\'an\'\i{} je z\'akladem pro metodu orbit, kterou pou\v z\'\i{}v\'ame p\v ri konstrukc\'\i{}ch
  reprezentac\'\i{} kone\v cn\v edimenzion\'aln\'\i{}ch Lieovsk\'ych algeber. Nap\v r\'\i{}klad  $sl(2,\mathbb{R}), su(2,\mathbb{R})$ atd.
  Z\'akladem pro geometrick\'e kvantov\'an\'\i{} je symplektick\'a varieta $(M,\omega)$, kde $\omega$ je
  uzav\v ren\'a nedegenerovan\'a 2-forma. Co\v z znamen\'a, \v ze pro ka\v zd\'y bod $m\in M$ je
  $$
  \omega_{m}: T_{m}(M)\times T_{m}(M)\rightarrow \mathbb{R}
  $$
  antisymetrick\'e biline\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} a $d\omega=0$. Zobrazen\'\i{}, kter\'e p\v ri\v razuje
  te\v cn\'ym vektor\accent23um $X \in T_{m}(M)$ funkcion\'aly z du\'aln\'\i{}ho prostoru $\varphi_{X}\in T_{m}^{\ast}M $
  d\'ano p\v redpisem:
  $$
   \varphi_{X}(Y)=\omega(X,Y),\qquad \forall Y\in T_{m}(M)
  $$
  je prost\'e a z kone\v cnosti dimenze vypl\'yv\'a, \v ze i surjektivn\'\i{}.

  Pro libovolnou funkci $f\in C^{\infty}(M)$ pokl\'ad\'ame diferenci\'al funkce $f$ jako 1-formu, kde $df(X)=(X\cdot f)(m)$.
  Libovoln\'e $f\in C^{\infty}(M)$ m\accent23u\v zeme p\v ri\v radit hladk\'e vektorov\'e pole $\gamma_{f}\in \mathcal{X}(M)
  $, n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m p\v redpisem:
  $$
   df_{m}=\omega_{m}(\gamma{f}(m),.).
  $$
  Symplektick\'a struktura indukuje poissonovskou strukturu $(M,\{,\})$. V na\v sem p\v r\'\i{}pad\v e je
  definov\'ana
  $$
   \{f,g \}:=\gamma_{f}\cdot g,
  $$
  co\v z m\accent23u\v zeme br\'at jako defini\v cn\'\i{} vztah a n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} rovnosti
  $$
   \{f,g \}=-\gamma_{g}\cdot f=-\omega(\gamma_{f},\gamma{g})
  $$
  jsou d\accent23usledkem definice.

  Vektorov\'a pole tvo\v r\'\i{} nekone\v cn\v e rozm\v ernou Lieovu algebru, kde p\v r\'\i{}slu\v sn\'a Lieova z\'avorka
  je definov\'ana jako komut\'ator p\v r\'\i{}slu\v sn\'ych vektorov\'ych pol\'\i{}. P\v ritom na vektorov\'a pole
  pohl\'\i{}\v z\'\i{}me jako ma diferenci\'aln\'\i{} oper\'atory 1. \v r\'adu. Tud\'\i{}\v z vektorov\'a pole zobrazuj\'\i{} hladk\'e
  funkce op\v et do prostoru hladk\'ych funkc\'\i{}.D\'ale si p\v ripome\v nme, \v ze prostor hladk\'ych funkc\'\i{}
  s poissonovou z\'avorkou tvo\v r\'\i{} tak\'e nekone\v cn\v e rozm\v ernou Lieovu algebru a zobrazen\'\i{}
  $$
    \gamma:(C^{\infty}(M),\{,\})\rightarrow (\mathcal{X}(M),[,])
  $$
   je homomorfismus Lieov\'ych algeber. To znamen\'a, \v ze  $\gamma_{\{f,g\}}=[\gamma_{f},\gamma_{g}]
   $.

   Podle p\v redpoklad\accent23u je dan\'a symplektick\'a forma uzav\v ren\'a a tud\'\i{}\v z je lok\'aln\v e exaktn\'\i{},
   neboli lze ps\'ati lok\'aln\v e ve tvaru $\omega=d\nu$, kde $\nu$ je vhodn\'a
   1-forma. P\v ripome\v nme vztah pro vn\v ej\v s\'\i{} derivov\'an\'\i{} 1-formy:
   \begin{equation}
    d\nu (\xi,\eta)=\xi\cdot \nu(\eta)-\eta\cdot \nu(\xi)-\nu([\xi,\eta])\qquad \forall\xi ,\eta \in \mathcal{X}(M).
   \end{equation}
   Z\'akladem geometrick\'eho kvantov\'an\'\i{} je zobrazen\'\i{} $\varrho$, kter\'e ka\v zd\'e funkci $f\in
   C^{\infty}(M)$ p\v ri\v rad\'\i{} diferenci\'aln\'\i{} oper\'ator, nejd\v r\'\i{}ve definovan\'y na prostoru hladk\'ych
   funkc\'\i{} podle p\v redpisu:
   \begin{equation}
    \varrho(f)=i\gamma_{f}+\nu(\gamma_{f})+ f\,.
   \end{equation}
   V\v simn\v eme si, \v ze zde se pou\v z\'\i{}v\'a zna\v cen\'\i{} $\nu(\gamma_{f})$ a $f$ pro oper\'atory
   n\'asoben\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v snou funkc\'\i{}.
   S pou\v zit\'\i{}m p\v redchoz\'\i{}ch vztah\accent23u je snadn\'e uk\'azat n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} z\'asadn\'\i{} vztah:
   \begin{equation}
      [\varrho(f),\varrho(g)]=i\varrho(\{f,g\}).
   \end{equation}
   Na prvn\'\i{} pohled by se zd\'alo, \v ze obdr\v zen\'y v\'ysledek je ide\'aln\'\i{}, nebo\v t ka\v zd\'e funkci
   $f$ je na $M$ p\v ri\v razen oper\'ator $\rho(f)$, p\v ri\v cem\v z oper\'ator je ve shod\v e s Poissonovou
   z\'avorkou. Obecn\v e se v\v sak ukazuje, \v ze prostor, na kter\'em dan\'e oper\'atory p\accent23usob\'\i{} je
   p\v r\'\i{}li\v s velk\'y. Tud\'\i{}\v z dan\'a mno\v zina oper\'ator\accent23u nen\'\i{} ireducibiln\'\i{}. Je tedy nutno tento
   prostor zredukovat. Obecn\'a metoda, jak se tento problem \v re\v s\'\i{} je zalo\v zena na pojmu
   \textit {polarizace}. Podrobn\v eji se budeme t\'\i{}mto pojmem zab\'yvat v dal\v s\'\i{} \v c\'asti.
   \section{Metoda orbit}
   Metoda orbit je vlastn\v e geometrick\'a konstrukce reprezentac\'\i{} Lieovsk\'ych grup a algeber.
   Postup je shodn\'y s geometrick\'ym kvantov\'an\'\i{}m, ov\v sem symplektick\'e variety a t\v r\'\i{}dy
   funkc\'\i{}, kter\'e chceme kvantovat (p\v ri\v radit jim oper\'atory), jsou p\v resn\v e vymezeny  a
   p\v rirozen\v e z\'avis\'\i{} na dan\'e Lieov\v e grup\v e.

   Nech\v t $\mathbb{G}$ je Lieova grupa a $\mathbf{g}$ je jej p\v r\'\i{}slu\v sn\'a Lieova algebra. Obecn\v e je
   zn\'am n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} fakt:

   \textit{Ke ka\v zd\'e kone\v cn\v erozm\v ern\'e Lieov\v e algeb\v re $\mathbf{g}$ existuje
   (a\v z na izomorfismy) jedin\'a souvisl\'a jednodu\v se souvisl\'a Lieova grupa $\mathbb{G}$ jej\'\i{}\v z algebra
   je izomorfn\'\i{} $\mathbf{g}$}. Dal\v s\'\i{} zaj\'\i{}mav\'y vztah mezi souvisl\'ymi a sou\v casn\v e jednodu\v se souvisl\'ymi Lieovsk\'ymi
   grupami a souvisl\'ymi grupami uv\'ad\'\i{} n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} tvrzen\'\i{}:

   \textit{Nech\v t $\mathbb{G}$ je souvisl\'a a jednodu\v se souvisl\'a Lieova grupa a $\mathbf{g}$ jej\'\i{} Lieova algebra. Nech\v t $\mathbb{H}$ je souvisl\'a Lieova
   grupa, jej\'\i{}\v z Lieova algebra je izomorfn\'\i{} algeb\v re $\mathbf{g}$, potom existuje diskr\'etn\'\i{}
   podgrupa $\mathbb{D}$, kter\'a je podmno\v zinou centra grupy $\mathbb{G}$ a $\mathbb{G}/\mathbb{D}\cong
   \mathbb{H}$.}\\

   K libovoln\'emu prvku $g\in \mathbb{G}$ p\v ri\v rad\'\i{}me homomorfismus $\alpha_{g}\in
   \mathbf{Aut}(\mathbb{G})$, kter\'y definujeme
   $$
     \alpha_{g}:=gag^{-1}\qquad -\textit{tzv. vnit\v rn\'\i{} automorfismus grupy }\mathbb{G}.
   $$
   Zobrazen\'\i{} $g\rightarrow \alpha_{g}$ je obecn\v e homomorfismus grup $ \mathbb{G}$ a
   $\mathbf{Aut}(\mathbb{G})$.

   Dal\v s\'\i{} co si zadefinujeme je tzv. \textit{p\v ridru\v zen\'a} nebo \textit{adjungovan\'a akce} $Ad_{g}:\mathbf{g}\rightarrow\mathbf{g}$,
    kterou polo\v z\'\i{}me:
   $$
     Ad_{g}:=(\alpha_{g})_{\ast}|_{e}.
   $$
    Pou\v zijeme-li n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} v\v etu:(Ado)\textit{Nech\v t $\mathbf{g}$ je kone\v cn\v erozm\v ern\'a Lieova algebra, potom tuto Lieovu algebru
    lze vno\v rit do maticov\'e Lieovy algebry.  }\\
    Tud\'\i{}\v z existuje maticov\'a Lieova grupa, jeji\v z maticov\'a Lieova algebra je izomorfn\'\i{} dan\'e
    Lieov\v e algeb\v re $\mathbf{g}$. Potom pro maticov\'e Lieovy grupy  m\accent23u\v zeme p\v r\'\i{}mo ps\'at
   \begin{equation}
     Ad_{g}(X)=\frac{d(ge^{Xt}g^{-1})}{dt}|_{t=0}=\frac{d(e^{(gXg^{-1})t})}{dt}|_{t=0}=gXg^{-1}
   \end{equation}


   Nyn\'\i{} se pod\'\i{}vejme na du\'aln\'\i{} prostor $\mathbf{g^{\ast}}$. Abychom zd\accent23uraznili dualitu
   mezi $\mathbf{g}$ a $\mathbf{g}^{\ast }$ budeme prvky $\mathbf{g^{\ast}}$  zapisovat $\langle f,X\rangle$. Na du\'aln\'\i{}m
   prostoru si zavedeme tzv. \textit{koadjungovanou akci} $Ad_{g}^{\ast}$, kter\'a p\accent23usob\'\i{} na du\'aln\'\i{}m
   prostoru $\mathbf{g^{\ast}}$. Defini\v cn\'\i{} vztah je
   \begin{equation}
     \langle Ad_{g}^{\ast}f,X\rangle:=\langle f,Ad_{g^{-1}}X\rangle.
   \end{equation}
   Poznamenejme, \v ze v libovoln\'e Lieov\v e algeb\v re je mo\v zno zav\'est tzv. \textit{Killingovu} biline\'arn\'\i{} formu,
   kter\'a je indukov\'ana samotnou strukturou Lieovy algebry. Vy\v zadujeme-li
   nedegenerovanost t\'eto formy, tak ta je spln\v ena pr\'av\v e  tehdy, pokud dan\'a Lieova algebra je
   \textit{poloprost\'a}. Obecn\v e nedegenerovan\'a biline\'arn\'\i{} forma na kone\v cn\v edimenzion\'aln\'\i{}m
   prostoru n\'am umo\v z\v nuje ztoto\v zn\v en\'\i{} jeho du\'aln\'\i{}ho prostoru s n\'\i{}m sam\'ym.

   Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} na strukturu orbit koadjungovan\'e akce. Orbitou k prvku $f_{0}\in \mathbf{g^{\ast}}$
   nazveme mno\v zinu
   $$
      \mathcal{O}_{f_{0}}:=\{Ad_{g}^{\ast}(f_{0})|g\in \mathbb{G}\}.
   $$
   D\'ale poznamenejme, \v ze stabiliz\'atorem dan\'eho prvku $f_{0}$ je mno\v zina $ \mathbb{G}_{0}:=\{g\in \mathbb{G}|
   Ad_{g}^{\ast}(f_{0})=f_{0}\}$. Zde $\mathbb{G}_{0}$ je uzav\v ren\'a Lieova podgrupa.
   Ozna\v cme $\mathbf{g_{0}}$ jej\'\i{} Lieovskou algebru. Potom $\mathcal{O}_{f_{0}}$ je Lieova
   grupa a lze ps\'at
   $$
      \mathcal{O}_{f_{0}}\cong \mathbb{G}/\mathbb{G}_{0}
   $$
   a k n\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v sn\'a Lieova algebra je izomorfn\'\i{} s $\mathbf{g}-\mathbf{g}_{0}$.

   D\v r\'\i{}ve ne\v z vytvo\v r\'\i{}me na du\'aln\'\i{}m vektorov\'em prostoru $\mathbf{g}^{\ast} $  Poissonovu strukturu a p\v rejdeme k
   indukovan\'ym symplektick\'ym variet\'am, \v rekneme si n\v ekolik obecn\'ych slov o vztahu
   mezi symplektick\'ymi a Poissonov\'ymi varietami.

   Obecn\v e je zn\'amo, \v ze ka\v zd\'a symplektick\'a struktura na variet\v e indukuje Poissonovu strukturu,p\v resn\v e
   tak jak je to popsan\'e v \v c\'asti geometrick\'e kvantov\'an\'\i{}.
   M\v ejme tedy na opak Poissonovu varietu $(M,\{,\})$. Potom tam existuje jednozna\v cn\v e
   ur\v cen\'e rozvrstven\'\i{} (tzv. foliace), jeho\v z v\v sechny listy jsou symplektick\'e podvariety
   variety $M$. Mohou tam  b\'yt zastoupeny r\accent23uzn\'e listy, ale v\v sechny mus\'\i{} m\'yt sudou
   dimenzi. Dal\v s\'\i{} d\accent23ule\v zit\'ym faktem je, \v ze pokud vezmeme Poissonovu z\'avorku indukovanou
   symplektickou strukturou na list\v e $\mathcal{O}$ a ozna\v c\'\i{}me ji $\{,\}_{\mathcal{O}}$.
   Potom plat\'\i{} n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} vztah:
   $$
    \{f|_{\mathcal{O}},g|_{\mathcal{O}}\}_{\mathcal{O}}=\{f,g\}|_{\mathcal{O}}.
   $$

   Nyn\'\i{} u\v z m\accent23u\v zeme p\v ristoupit ke konstrukci Poissonovy struktury na du\'aln\'\i{}m vektorov\'em
   prostoru $\mathbf{g}^{\ast} $. K libovoln\'emu prvku $X\in \mathbf{g}$ vytvo\v r\'\i{}me line\'arn\'\i{} funkci
   $ \lambda_{X}$ n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m vztahem
   \begin{equation}
    \lambda_{X}(f):=\langle f,X\rangle,\quad f\in \mathbf{g}^{\ast}
   \end{equation}
   Potom na $\mathbf{g}^{\ast} $ lze jedin\'ym zp\accent23usobem vytvo\v rit Poissonovu z\'avorku tak,
   aby pro zvolen\'e line\'arn\'\i{} funkce platilo
    \begin{equation}
    \{\lambda_{X},\lambda_{Y}\}=\lambda_{[X,Y]}.
   \end{equation}
   Tud\'\i{}\v z Poissonovu z\'avorku nejprve p\v redep\'\i{}\v seme na line\'arn\'\i{}ch funkc\'\i{}ch $\lambda_{X}$ a potom
   je jednozna\v cn\v e roz\v s\'\i{}\v r\'\i{}me na v\v sechny funkce z $C^{\infty}(\mathbf{g}^{\ast} )$.\\
   Vznikl\'a Piossonova varieta n\'am tedy jednozna\v cn\v e rozvrstvuje prostor $\mathbf{g}^{\ast} $ na
   listy, kter\'e jsou symplektick\'e variety. A samoz\v rejm\v e dan\'e hladk\'e funkce $\lambda_{X}$ na
   symplektick\'e variet\v e indukuj\'\i{} vektorov\'a pole $\xi_{X}$ rovnic\'\i{} $d\lambda_{X}(.)=\omega(\xi_{X},.)$
   Nakonec je d\accent23ule\v zit\'e podotknout, \v ze tyto vznikl\'e listy se p\v resn\v e shoduj\'\i{} s orbitami
   dan\'e koadjungovan\'e akce.
   \section{Konstrukce reprezentac\'\i{}}
   V t\'eto \v c\'asti se budeme zab\'yvat konstrukc\'\i{} reprezentace dan\'e Lieovy algebry
   $\mathbf{g}$. Nech\v t je d\'ana \textit{line-bundle} $\aleph$, jeho\v z b\'az\'\i{} je varieta $M$ a jeho vl\'aknem
   $\mathbb{C}$. Ozna\v cme v\v sechny hladk\'e \v rezy v tomto line-bundlu $\Re^{\infty}(\aleph)$.
   Zde je $\Re^{\infty}(\aleph)$ mno\v zina komplexn\'\i{}ch funkc\'\i{} na variet\v e $M$.
   M\v ejme d\'anu \textit{kovariantn\'\i{} derivaci}
   $$
   \nabla:\mathcal{X}\times \Re^{\infty}(\aleph) \rightarrow
   \Re_{\infty}(\aleph)
   $$
   Obecn\v e z definice  kovariantn\'\i{} derivace plat\'\i{} n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}:
   \begin{eqnarray*}
    &(i)&\quad \nabla_{\xi}(f\cdot \zeta)=\xi(f)\cdot \zeta+f\cdot \nabla_{\xi}(\zeta)\\
    &(ii)&\quad \nabla_{\alpha \cdot \xi+\eta}(f)=\alpha\cdot
    \nabla_{\xi}(f)+\nabla_{\eta}(f)\\
    &(iii)&\quad \nabla_{\xi}(\zeta
    +\vartheta)=\alpha\cdot\nabla_{\xi}(\zeta)+\nabla_{\xi}(\vartheta)\\
   \end{eqnarray*}
   Pro libovoln\'e $f,\alpha \in C^{\infty}(M)$,\quad $\zeta,\vartheta \in \Re^{\infty}(\aleph)$ a
    $\xi,\eta \in \mathcal{X}(M)$.\\
    V na\v sem p\v r\'\i{}pad\v e budeme volit b\'azi line-bundlu jako orbitu $\mathcal{O}_{f_{0}}$ a
    kovariantn\'\i{} derivaci n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m vztahem:
    \begin{equation}
         \nabla_{\xi}:=\xi+2\pi i\nu(\xi)\quad \forall \xi\in
         \mathcal{X}(\mathcal{O}_{f_{0}}).
    \end{equation}
    Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} na tenzor k\v rivosti, kter\'y ozna\v c\'\i{}me $\mathcal{R}$ a obecn\v e
    ho m\accent23u\v zeme pro libovoln\'a $\xi,\eta\in\mathcal{X}(M)$:
    \begin{equation}
        \mathcal{R}(\xi,\eta):=[\nabla_{\xi},\nabla_{\eta}]-\nabla_{[\xi,\eta]}.
    \end{equation}
    V na\v sem p\v r\'\i{}pad\v e plat\'\i{} n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} rovnice:
    \begin{equation}
     \mathcal{R}(\xi,\eta)=2\pi i \omega(\xi,\eta),
    \end{equation}
    jej\'\i{}\v z platnost si ov\v e\v r\'\i{}me.

    Pro libovoln\'e $\xi, \eta \in \mathcal{X}(M)$ plat\'\i{}

    \begin{eqnarray*}
    \mathcal{R}(\xi,\eta)& = & [\nabla_{\xi},\nabla_{\eta}]-\nabla_{[\xi,\eta]}\\
    & = & \xi(\eta)+2\pi i \xi(\nu(\eta))+2\pi i \nu(\eta)\cdot \xi +2\pi i \nu(\xi)\cdot \eta +
    (2\pi i)^{2}\nu(\xi)\cdot \nu(\eta)-\\
    & \quad & \eta(\xi)-2\pi i \eta(\nu(\xi))-2\pi i \nu(\xi)\cdot \eta -2\pi i \nu(\eta)\cdot\xi-
    2\pi i)^{2}\nu(\eta)\cdot \nu(\xi)-\\
    & \quad & [\xi,\eta ]-2 \pi i \nu([\xi,\eta ])=2\pi i \xi(\nu(\eta ))-2\pi i \eta(\nu(\xi ))-2\pi i
    \nu([\xi,\eta ]) \\
    & = & 2\pi i \omega(\xi,\eta ).\\
    \end{eqnarray*}
    Posledn\'\i{} rovnost vypl\'yv\'a z rovnosti (1.1). A sou\v casn\v e plat\'\i{} $d\mathcal{R}=0$. Co\v z
    vypl\'yv\'a z p\v redpokladu exaktnosti $\omega$.
    Z p\v redchoz\'\i{}ho tedy vypl\'yv\'a, \v ze hled\'ame line-bundl s kovariantn\'\i{} derivac\'\i{} $\nabla$, tak
    aby $\mathcal{R}=2\pi i \omega$.

    Nyn\'\i{} se m\accent23u\v zeme pod\'\i{}vat na vlastn\'\i{} konstrukci reprezentace $\varrho$ Lieovy algebry $\mathbf{g}$.
    Ka\v zd\'emu $X \in \mathbf{g}$ p\v ri\v rad\'\i{}me diferenci\'aln\'\i{} oper\'ator n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m p\v redpisem:
    \begin{equation}
      \varrho(X):= \xi_{X}+2\pi i\nu(\xi)+2\pi i \lambda_{X}=\nabla_{\xi_{X}}+2\pi i \lambda_{X}.
    \end{equation}
    Nyn\'\i{} si uk\'a\v zeme, \v ze dan\'y p\v redpis opravdu definuje reprezentaci.
    \begin{eqnarray*}
      [\varrho(X),\varrho(Y)]& = & [\nabla_{\xi_{X}}+2\pi i \lambda_{X},\nabla_{\xi_{Y}}+2\pi i
      \lambda_{Y}]\\
      & = & [\nabla_{\xi_{X}},\nabla_{\xi_{Y}}]+2\pi i (\xi_{X}\lambda_{Y}-\xi_{Y}\lambda_{X}).
    \end{eqnarray*}
   A jeliko\v z plat\'\i{} $d\lambda_{X}(\xi_{Y})=\omega(\xi_{X},\xi_{Y})=\lambda_{[Y,X]}$
   dost\'av\'ame
   \begin{eqnarray*}
    &\quad &   [\nabla_{\xi_{X}},\nabla_{\xi_{Y}}]+2\pi i(\xi_{X}\lambda_{Y}-\xi_{Y}\lambda_{X})
     =  \nabla_{[\xi_{X},\xi_{Y}]}+2\pi i \omega(\xi_{X},\xi_{Y})+4 \pi i \omega(\xi_{Y},\xi_{X})\\
       & = & \nabla_{[\xi_{X},\xi_{Y}]}+2\pi i\omega(\xi_{Y},\xi_{X})=\nabla_{[\xi_{X},\xi_{Y}]}+2\pi i
       \lambda_{[X,Y]} =  \varrho_{[X,Y]}.\\
    \end{eqnarray*}
   \section{Redukce reprezentace}
   Obecn\v e dan\'a reprezentace $\varrho$ nemus\'\i{} b\'yt ireducibiln\'\i{}. Proto redukujeme dan\'y prostor
   na men\v s\'\i{} prostor, kter\'y je indukov\'an jistou distribuc\'\i{}. Tuto distribuci naz\'yv\'ame
   \textit{polarizace}. Obecn\v e distribuce zobec\v nuje pojem vektorov\'eho pole.
   \definice{\textit{Nech\v t jsou d\'any hladdk\'a vektorov\'a pole $\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{k}$ na variet\v e $M$ a pro libovoln\'e $x
    \in M$ m\'ame zobrazen\'\i{} $\mathcal{D}(x)=\{\xi_{1}(x)\xi_{2}(x)...\xi_{k}(x)\}_{\lambda}$. Toto
   zobrazen\'\i{} naz\'yv\'ame hladkou distribuc\'\i{}. D\'ale \v r\'\i{}k\'ame, \v ze distribuce $\mathcal{D}$ je
   involutivn\'\i{} pr\'av\v e tehdy, plat\'\i{}-li pro libovoln\'e $\xi,\eta \in \mathcal{X}(M)$ a sou\v casn\v e
    $\xi,\eta \in \mathcal{D}$, potom $[\xi,\eta]\in \mathcal{D}$}}.
   \definice{\textit{Nech\v t $\mathcal{D}$ je k-rozm\v ern\'a distribuce v $M$, potom  integr\'aln\'\i{}
    varieta distribuce $\mathcal{D}$ je vno\v ren\'a varieta s vno\v ren\'\i{}m $\Phi:N\rightarrow M$  takov\'a,
    \v ze pro libovoln\'e $ y\in N $, plat\'\i{} }}
    $ \Phi_{\ast}(T_{y} N )= \mathcal{D}( \Phi (y) ).$\\

    Nyn\'\i{} bude n\'asledovat tzv. \textit{Frobeniovu v\v etu}.\\
    \textit{Nech\v t op\v et $\mathcal{D}$ je hladk\'a k-rozm\v ern\'a distribuce na $M$, potom pro libovoln\'y
     prvek $x\in M$ existuje maxim\'aln\'\i{} souvisl\'a integr\'aln\'\i{} varieta $\mathcal{D}$ proch\'azej\'\i{}c\'\i{}
     bodem $x$ pr\'av\v e tehdy, pokud distribuce $\mathcal{D}$ je involutivn\'\i{}. }

    Tuto p\v r\'\i{}slu\v snou varietu tak\'e naz\'yv\'ame listem dan\'e distribuce. Polarizace je distribuce, kter\'a
    je involutivn\'\i{} a tak\'e takzvan\v e $\mathbb{G}$-invariantn\'\i{}. Hned si oz\v rejm\'\i{}me danou
    vlastnost. Nech\v t libovoln\'a Lieova grupa $\mathbb{G}$ p\accent23usob\'\i{} na n\v ejak\'e  variet\v e $M$. Ozna\v cme akci t\'eto grupy na variet\v e $\cdot:\mathbb{G}\times M\rightarrow
    M$. Akce mus\'\i{} z definice spl\v novat n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} dv\v e vlastnosti:
    \begin{eqnarray*}
           & (i) & \quad e\cdot x= x \\
           & (ii)& \quad a\cdot (b \cdot x)= ab\cdot x , \\
    \end{eqnarray*}
   pro libovoln\'e $a,b \in \mathbb{G}$, $x\in M$ a $ab$ zna\v c\'\i{} n\'asoben\'\i{} v grup\v e $\mathbb{G}$.
   Nav\'\i{}c budeme v\v zdy p\v redpokl\'adat, \v ze  $\cdot$ je hladk\'e zobrazen\'\i{} variet
   $ \mathbb{G}\times M $ a $M $. V na\v sem p\v r\'\i{}pad\v e varietou je orbita $\mathcal{O}_{f_{0}}$
    a akc\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v sn\'a koadjungovan\'a akce. \v R\'\i{}k\'ame, \v ze dan\'a distribuce $\mathcal{D}$ je $\mathbb{G}$-invariantn\'\i{} pokud
    je spln\v ena n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} podm\'\i{}nka
    $$
               \mathcal{D}_{g\cdot x}= (g\cdot)|_{\ast}(\mathcal{D}_{x}),
    $$
    kde zobrazen\'\i{} $g\cdot$ je hladk\'e zobrazen\'\i{} z $M$ do $M$ a $(g\cdot)|_{\ast}$ p\v r\'\i{}slu\v sn\'e
    te\v cn\'e zobrazen\'\i{}. V na\v sem p\v r\'\i{}pad\v e bude polarizace  $\mathbb{G}$-invariantn\'\i{}
    involutivn\'\i{} distribuce na orbit\v e $\mathcal{O}_{f_{0}}$, kter\'a bude spl\v novat je\v st\v e dal\v s\'\i{} speci\'aln\'\i{}
    vlastnosti. Jednou z nich bude, \v ze pro libovoln\'e $x \in M$ plat\'\i{} $\dim\mathcal{D}_{x}=1/2 \dim \mathcal{O}_{f_{0}}$ a $\mathcal{D}\subseteq
    \nu.$

    Samotn\'a redukce dan\'e reprezentace $\varrho$, spo\v c\'\i{}v\'a v tom, \v ze dan\'y prostor funkc\'\i{} budeme
    redukovat na prostor funkc\'\i{} konstantn\'\i{}ch na listech foliace polarizace $\mathcal{P}$. To je ekvivalentn\'\i{}
    podm\'\i{}nce
    $$
      \xi(f)=0\quad  \forall \xi \in \mathcal{X}(\mathcal{O}_{f_{0}}),\,\xi \in
      \mathcal{P}.
    $$
    Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} na formu $B_{0}$ formu definovanou na Lieov\v e algeb\v re $\mathbf{g}$
    n\'asledovn\v e: $B_{0}(X,Y):=\langle f_{0},[X,Y]\rangle$. V dal\v s\'\i{}m ozna\v cme nulprostor dan\'e
    formy $\mathcal{N} $, kter\'y je  obecn\v e definov\'an
    $$
      \mathcal{N}=\{X;B_{0}(X,Y)=0,\forall Y\in \mathbf{g}\}.
    $$
    Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} na formu $B_{0}$.
    $$
      B_{0}(X,Y)=\langle f_{0},[X,Y]\rangle=\lambda_{[X,Y]}(f_{0})=\xi_{X}(\lambda_{Y})(f_{0})
    $$
    Jeliko\v z plat\'\i{}
    $$
     \{d\lambda_{Y}(f_{0};Y\in
     \mathbf{g})\}_{\lambda}=T_{f_{0}}(\mathcal{O}_{f_{0}})\Leftrightarrow \{ \xi(f_{0});X\in
     \mathbf{g}\}= T_{f_{0}}(\mathcal{O}_{f{0}}),
    $$
     Z p\v redchoz\'\i{}ch vztah\accent23u vypl\'yv\'a, \v ze $X\in N\Leftrightarrow \xi_{X}(f_{0})=0$ a tud\'\i{}\v z
     dost\'av\'ame $N=\mathbf{g_{0}}$.
    Co je podstatn\'e a d\accent23ule\v zit\'e uk\'azat, \v ze dan\'y prostor je invariantn\'\i{} v\accent23u\v ci reprezentaci
    $\varrho$.
     Nech\v t $\xi_{X}(f)=0$ pro libovoln\'e $\xi_{X} \in \mathcal{D}$ potom je
     t\v reba uk\'azat, \v ze $\xi_{X}(\varrho_{0}(Y)f)=0$ pro libovoln\'e $Y\in
     \mathbf{g}$. Jeliko\v z plat\'\i{}
     $$
     \xi_{X}(\varrho_{0}(X)f= [\xi_{X},
     \varrho_{0}(Y)]f=\xi_{[X,Y]}+2\pi i
     [\xi_{X},\nu(\xi_{Y})]+2\pi i
     [\xi_{X},\lambda_{Y}]=\xi_{[X,Y]}+2\pi i
     \xi_{X}\nu(\xi_{Y})+2\pi i\lambda_{[X,Y]}
     $$

     A pou\v zijeme-li vztah (1.1) dost\'av\'ame
     $$
       \xi_{[X,Y]}+2\pi i \nu(\xi_{[X,Y]})+2\pi i
       \xi_{Y}\nu(\xi_{X}),
     $$
      co\v z jsme cht\v eli uk\'azat.

    Tud\'\i{}\v z d\'\i{}ky $G$-invariantnosti sta\v c\'\i{} nal\'ezt podprostor
    $\mathbf{g}_{0}^{\mathbb{C}}\subseteq h \subseteq
    \mathbf{g}^{\mathbb{C}}$, kde $h$ je podalgebra. Z po\v zadavku na
    dimenzi vypl\'yv\'a, \v ze $\dim h=1/2(\dim\mathbf{g}-\dim\mathbf{g}_{0})+
    \dim\mathbf{g}_{0}=1/2(\dim\mathbf{g}+\dim\mathbf{g}_{0})$. Z
    podm\'\i{}nky $ \mathcal{D}\subseteq \ker \nu$ vypl\'yv\'a , \v ze $ \langle
    f_{0},[X,Y]\rangle=0 $ pro libovoln\'e $X, Y\in h$ $\Leftrightarrow
    B_{0}([h,h])$, kde $[h,h]=\{[X,Y];X\in h, Y\in h \}$ a dal\v s\'\i{} podm\'\i{}nku $h+\bar{h}\subseteq
    \mathbf{g}_{\mathbb{C}}$. Podprostor s touto vlastnost\'\i{} se
    naz\'yv\'a \textit{maxim\'aln\'\i{} izotropick\'y podprostor.} Potom u\v z
    jenom sta\v c\'\i{} pomoc\'\i{} zobrazen\'\i{} $g\cdot\mid_{\ast}$ rozn\'est do
    libovoln\'eho bodu orbity $\mathcal{O}_{f_{0}}$. T\'\i{}m m\'ame
    vytvo\v renu polarizaci a m\accent23u\v zeme prov\'ad\v et danou redukci.

    \chapter{Konstrukce reprezentac\'\i{} grupy $ Sl_{2}(\mathbb{R})$ metodou orbit}

    V t\'eto kapitole se budeme zab\'yvat konstrukcemi  reprezentac\'\i{} grupy $Sl_{2}(\mathbb{R})$ pomoc\'\i{} konstrukce
    reprezentace algebry $sl(2,\mathbb{R})$ metodou popsanou v p\v redchoz\'\i{}
    kapitole.

      M\v ejme Lieova grupu  $Sl_{2}(\mathbb{R})$ a jej\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v snou Lieovu algebru
    $sl(2,\mathbb{R})$. Zvolme b\'azi v  $sl(2,\mathbb{R})$
    $$
     {\bf E}=
     \left (\begin{array}{cc}
     0 & 1 \\
     0 & 0 \\
     \end{array}\right),\quad
     {\bf F}=
     \left (\begin{array}{cc}
     0 & 0 \\
     1 & 0 \\
     \end{array}\right),\quad
     {\bf H}=
     \left (\begin{array}{cc}
     1 & 0 \\
     0 & -1 \\
     \end{array}\right).
    $$
     P\v r\'\i{}slu\v sn\'e komuta\v cn\'\i{} relace jsou
     $$
       [\mathbf{E},\mathbf{F}]=\mathbf{H},\quad[\mathbf{H},\mathbf{F}]=2\mathbf{E},\quad[\mathbf{H},\mathbf{F}]=-2\mathbf{F}.
     $$

    Definujme si na $sl(2,\mathbb{R})$ biline\'arn\'\i{} nedegenerovanou
    formu $B$ p\v redpisem $B(X,Y)=\mbox{Tr}X^{t}Y$ a p\v r\'\i{}slu\v sn\'e
    line\'arn\'\i{} funkcion\'aly polo\v zme
    $$
        \langle f_{X},Y\rangle=\mbox{Tr}X^{t}Y=B(X,Y).
    $$
    Jeliko\v z algebra $sl(2,\mathbb{R})$ je prost\'a, potom zvolen\'a nedegenerovan\'a biline\'arn\'\i{}
    forma je n\'asobkem Killingovy formy definovan\'e obecn\v e na
    libovoln\'e Lieov\v e algeb\v re $\mathfrak{g}$
    $$
       B(X,Y)=\mbox{Tr}(ad_{X}ad_{Y}),\quad \mbox{kde } ad_{X}(Y)=[X,Y],\quad \forall X,Y\in \mathfrak{g}.
    $$

    Z nedegenerovanosti formy $B$ vypl\'yv\'a, \v ze funkcion\'aly
    $(f_{\mathbf{E}},f_{\mathbf{F}},f_{\mathbf{H}})$ tvo\v r\'\i{} b\'azi
    du\'aln\'\i{}ho prostoru $(sl(2,\mathbb{R}))^{\ast}$.
    V dal\v sim dle p\v redchoz\'\i{} kapitoly polo\v z\'\i{}me
    $$
       \lambda_{X}(f_{Y})=\langle f_{Y},X \rangle = B(Y,X).
    $$
    Tud\'\i{}\v z m\accent23u\v zeme prov\'est ztoto\v zn\v en\'\i{} $(sl(2,\mathbb{R}))^{\ast}$ s
    $ sl(2,\mathbb{R})$ n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m zp\accent23usobem: $f_{X}\leftrightarrow
    X$.
    Koadjungovanou akci grupy $Sl_{2}(\mathbb{R})$ na algeb\v re
    $sl(2,\mathbb{R})$ m\'ame d\'anu vztahem
    $$
      g\cdot X=Ad((g^{t}))^{-1}X=g^{t})^{-1}Xg^{t}.
    $$
    Tak to zvolen\'a akce vyhovuje relaci
    $$
      \langle g\cdot X, Y\rangle=
      \mbox{Tr}(gX^{t}g^{-1}Y)=\mbox{Tr}(X^{t}g^{-1}Yg)=\langle
      f_{X},Ad_{g^{-1}}Y\rangle=\langle
      Ad^{\ast}_{g}(f_{X}),Y\rangle.
    $$

    Zvol\'\i{}me-li si v algeb\v re $sl(2,\mathbb{R})$ sou\v radnice $(x,y,z)$
    dost\'av\'ame
    $$
         {\bf X}=
     \left (\begin{array}{cc}
     z & x+y \\
     -x+y & -z \\
     \end{array}\right)
    $$

    a $\det(\mathbf{X})= x^{2}-y^{2}- z^{2}$.

    Orbity grupy $Sl_{2}(\mathbb{R})$ na
    $(sl(2,\mathbb{R}))^{\ast}\leftrightarrow sl(2,\mathbb{R})$ rozd\v el\'\i{}me do 4 skupin
    podle hodnoty $\det(\mathbf{X})$.

    \begin{eqnarray*}
     & (i) &  \{\mathbf{X}; \det(\mathbf{X})>0\} \\
     & (ii) &  \{\mathbf{X}; \det(\mathbf{X})<0\} \\
     & (iii) &  \{\mathbf{X}; \det(\mathbf{X})=0\} \\
     & (iv)  &   \{\mathbf{X}=\Theta \}\\
    \end{eqnarray*}
    \section{Rota\v cn\'\i{} hyperboloidy}
    \begin{itemize}
     \item \textbf{Sou\v radnice koadjungovan\'e akce}
    \end{itemize}


     V t\'eto, \v c\'asti se budeme zab\'yvat orbitami, kter\'e pat\v r\'\i{} do
     skupiny (i). Zvol\'\i{}me-li si libovoln\'y parametr $k\in
     \mathbb{R}$, potom tyto orbity jsou rota\v cn\'\i{} hyperboloidy
     jejich\v z rovnice jsou
     $$
            x^{2}-y^{2}-z^{2}=k^{2}.
     $$
    Dan\'a rovnice definuje varietu, kter\'a nen\'\i{} souvisl\'a. Obsahuje
    dv\v e komponenty souvislosti (dva rota\v cn\'\i{} hyperboloidy ).
    Jeden jeho\v z $x>0$ a druh\'y $x<0$. Vybereme si ten, jeho\v z sou\v radnice
    $x>0$. Potom tuto sou\v radnici lze vyj\'ad\v rit $x=\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}$.
    Tud\'\i{}\v z je mo\v zno p\v rej\'\i{}t ke dv\v ema sou\v radnic\'\i{}m $(y,z)$. Tud\'\i{}\v z libovoln\'y prvek tohoto hyperboloidu
    lze ps\'at $$
            {\bf X}=
     \left (\begin{array}{cc}
     z & y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}} \\
     y-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}} & -z \\
     \end{array}\right).
    $$
    Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} jak v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch vypad\'a
    koadjungovan\'a akce pro libovoln\'y $g\in Sl_{2}(\mathbb{R})$ a p\'\i{}\v seme
    $g\cdot(y,z)=(y',z')$.Libovoln\'y prvek $g\in
    Sl_{2}(\mathbb{R})$ zap\'\i{}\v seme
    $$
       {\bf g}=
     \left (\begin{array}{cc}
     a & b \\
     c & d \\
     \end{array}\right),\quad ad-cb=1.
    $$
    inverzn\'\i{} prvek $g^{-1}$ nap\'\i{}\v seme
    $$
       {\bf g}=
     \left (\begin{array}{cc}
     d & -b \\
     -c & a \\
     \end{array}\right).
    $$
    Porovn\'ame-li ob\v e strany n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} rovnice

    $$
     \left (\begin{array}{cc}
     d & -c \\
     -b & a \\
     \end{array}\right)
     \left (\begin{array}{cc}
     z & y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}} \\
     y-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}} & -z \\
     \end{array}\right)
     \left (\begin{array}{cc}
     a & b \\
     c & d \\
     \end{array}\right)=
    $$
    $$
    =\left (\begin{array}{cc}
     z' & y'+\sqrt{k^{2}+y'^{2}+z'^{2}} \\
     y'-\sqrt{k^{2}+y'^{2}+z'^{2}} & -z' \\
     \end{array}\right)
    $$

    Dostaneme transformaci sou\v radnic

    \begin{eqnarray}
       y'  & = &
     \frac{1}{2}(-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})y+(-ab+cd)z \\
       z' & = &
     (ac+bd)\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+(-ac+bd)y+(bc+ad)z
    \end{eqnarray}

    Zvolme nyn\'\i{} bod, jeho\v z sou\v radnice jsou $(0,0)$. Tento bod je
    $$
              {\bf X_{0}}=
     \left (\begin{array}{cc}
     0 & k \\
     -k & 0 \\
     \end{array}\right).
    $$
    \begin{itemize}
       \item \textbf{Stabiliz\'ator}
    \end{itemize}


    Pod\'\i{}vejme se na stabiliz\'ator bodu $\mathbf{X}_{0}$. Dosad\'\i{}me za
    $y=0,z=0,y'=0,z'=0$
    a dost\'av\'ame rovnice
     $$
        0=\frac{1}{2}(-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})k,\quad
        0=(ac+bd)k,\quad
        ad-bc=1.
     $$
    \v Re\v sen\'\i{}m t\v echto rovnic dost\'av\'ame jednoparametrickou grupu
    $$
    SO(2)=
     \{\left (\begin{array}{cc}
      \cos\theta & \sin\theta \\
     -\sin\theta & cos\theta \\
     \end{array}\right),\,\theta\in \mathbb{R}\}.
    $$
    Jeliko\v z plat\'\i{}
    $$
       \exp(
     \left (\begin{array}{cc}
     0 & 1 \\
     -1 & 0 \\
     \end{array}\right)\theta )=
     \left (\begin{array}{cc}
      \cos\theta & \sin\theta \\
     -\sin\theta & cos\theta  \\
     \end{array}\right),
    $$
    , kde
    $
    \exp(\mathbf{A})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\mathbf{A}^{i}}{i!}=e^{\mathbf{A}}
    $. V na\v s\'\i{} b\'azi $(\mathbf{E},\mathbf{F},\mathbf{H})$ m\accent23u\v zeme
    ps\'at
    $$
        \left (\begin{array}{cc}
     0 & 1 \\
     -1 & 0 \\
     \end{array}\right)= \mathbf{E}-\mathbf{F}.
    $$
    V dal\v s\'\i{} se pod\'\i{}v\'ame, zda-li se koadjungovanou akc\'\i{} dostaneme z
    bodu $(0,0)$ do libovoln\'eho bodu $(y,z)$. Vezm\v eme si prvek z
    grupy $g\in Sl_{2}(\mathbb{R})$, jeho\v z $c=0$ a tedy
    $$
    \mathbf{g}=    \left (\begin{array}{cc}
     a & b \\
     0 & \frac{1}{a} \\
     \end{array}\right).
    $$
    Potom dost\'av\'ame
    $$
      y=\frac{1}{2}(-a^{2}-b^{2}+\frac{1}{a^{2}})k,\quad z=\frac{bk}{a}
    $$
    Vy\v re\v s\'\i{}me-li tyto rovnice dostaneme
    $$
       a=\frac{\sqrt{k(-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}})}}{\sqrt{k^{2}+z^{2}}},\quad
       b=\frac{z\sqrt{-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\sqrt{k(k^{2}+z^{2}})}
    $$
\begin{itemize}
  \item \textbf{Funkce $ \lambda_{\mathbf{X}}$}
\end{itemize}


    Nyn\'\i{} pro libovoln\'y prvek $\mathbf{X}\in sl(2,\mathbb{R})$
    p\v ri\v rad\'\i{}me funkci na orbit\v e $\mathcal{O}_{\mathbf{X}_{0}}$.\\
     To jest $\lambda:\mathbf{X}\rightarrow
    \mathcal{C}^{\infty}(\mathcal{O}_{\mathbf{X}_{0}})$
    $$
      \lambda_{\mathbf{X}}(f)=\langle f,\mathbf{X}\rangle.
    $$
    Tud\'\i{}\v z po ztoto\v zn\v en\'\i{} dost\'av\'ame
    $$
       \lambda_{\mathbf{X}}(y,z)= \mbox{Tr}\mathbf{X}\left (\begin{array}{cc}
     z & -x+y \\
     x+y & -z \\
     \end{array}\right),\quad x=\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}.
    $$
     Pro bazick\'e prvky dost\'av\'ame
    \begin{equation}
     \lambda_{\mathbf{E}}(y,z)=\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y,\quad
      \lambda_{\mathbf{F}}(y,z)=
       -\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y,\quad
       \lambda_{\mathbf{H}}(y,z)=2z.
    \end{equation}
    \begin{itemize}
     \item \textbf{Infinitezim\'aln\'\i{} akce}
    \end{itemize}


    V dal\v s\'\i{}m si zavedeme homomorfismus $\xi:sl(2,\mathbb{R})\rightarrow
    \mathcal{X}(\mathcal{O}_{\mathbf{X}_{0}})$. Tud\'\i{}\v z bude platit
    $$
      [\xi_{\mathbf{X}},\xi_{\mathbf{Y}}]=\xi_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]}.
    $$
    Definujeme tuto akci vztahem
    $$
     (\xi_{\mathbf{X}}f)(\mathbf{Y})=\frac{d}{dt}|_{t=0}(f(e^{-\mathbf{X}t}\cdot
     \mathbf{Y})).
    $$
    Pro bazick\'e prvky dost\'av\'ame
    \begin{eqnarray}
      \lefteqn{\xi_{\mathbf{E}}=z\partial_{y}
      -(\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y)\partial_{z},\quad \xi_{\mathbf{F}}=-z\partial_{y}
      +(-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y)\partial_{z} }\nonumber \\
      & &  \xi_{\mathbf{H}}=
       2\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\partial_{y}.
    \end{eqnarray}
    Nyn\'\i{} si uk\'a\v zeme, \v ze zvolen\'a infinitezim\'aln\'\i{} akce spl\v nuje
    relaci
    $$
      \xi_{\mathbf{X}}(\lambda_{\mathbf{Y}})=\lambda_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]},
    $$
     nebo\v t
    $$
      \xi_{\mathbf{X}}(\lambda_{\mathbf{Y}})(\mathbf{Z})=\frac{d}{dt}\lambda_{Y}(e^{-\mathbf{X}t}\cdot
      \mathbf{Z})|_{t=0}=
      \frac{d}{dt}\mbox{Tr}((e^{-\mathbf{X}t}\cdot\mathbf{Z})^{t}\mathbf{X})=
      \frac{d}{dt}\mbox{Tr}(e^{-\mathbf{X}t}\mathbf{Z}^{T}e^{\mathbf{X}t}\mathbf{Y})=
    $$
    $$
    \mbox{Tr}(-\mathbf{X}\mathbf{Z}^{T}\mathbf{Y})+\mbox{Tr}(\mathbf{Z}^{T}\mathbf{X}\mathbf{Y})
    =\mbox{Tr}(-\mathbf{Z}^{T}\mathbf{Y}\mathbf{X})+\mbox{Tr}(\mathbf{Z}^{T}\mathbf{X}\mathbf{Y})=
    \mbox{Tr}(\mathbf{Z}^{T}[\mathbf{X},\mathbf{Y}])=\lambda_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]}(\mathbf{Z}).
    $$

    \begin{itemize}
      \item \textbf{Symplektick\'a forma}
    \end{itemize}


    Nyn\'\i{} si zavedeme symplektickou 2-formu.
    $$
      \omega(\xi_{\mathbf{X}},\xi_\mathbf{Y}):=\lambda_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]}
    $$
    Po porovn\'an\'\i{} prav\'e a lev\'e strany rovnice
    $$
      (A(y,z)dy\wedge
      dz)(\xi_{\mathbf{E}},\xi_{\mathbf{F}})=\omega(\xi_{\mathbf{E}},\xi_\mathbf{F})
      =A(y,z)(\,\xi_{\mathbf{E}}(dy)\xi_{\mathbf{F}}(dz)-\xi_{\mathbf{E}}(dz)\xi_{\mathbf{F}}(dy)\,)=-\lambda_{[\mathbf{E},\mathbf{F}]}=
      \lambda_{\mathbf{H}}=2z
    $$
     dost\'av\'ame $A(y,z)=1/(\sqrt{k^{2}+x^{2}+y^{2}})$. Tud\'\i{}\v z
     \begin{equation}
        \omega= \frac{1}{\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dy\wedge dz.
     \end{equation}
    Dan\'a forma je exaktn\'\i{} a tud\'\i{}\v z
    $$
     d\nu=\omega,\quad \mbox{kde }\quad
     \nu=\ln(y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}})dz.
    $$

    \begin{itemize}
      \item \textbf{Zobrazen\'\i{} $f\rightarrow \gamma_{f} $ a Poissonova z\'avorka}
    \end{itemize}


    Symplektick\'a varieta $\mathcal{O}_{\mathbf{X}_{0}}$ n\'am pro
    libovolnou funkci $f\in
    C^{\infty}(\mathcal{O}_{\mathbf{X}_{0}})$ indukuje vektorov\'e
    pole $\gamma_{f}$ rovnic\'\i{}
    $$
      \gamma_{f}\lfloor \omega=df.
    $$
    Dost\'av\'ame
    $\gamma_{f}=\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}((\partial_{z}f)\partial_{y}-(\partial_{y}f)\partial_{z})$ a
    speci\'aln\v e pro funkci $f=\lambda_{\mathbf{X}}$ m\'ame
    $\gamma_{\lambda_{\mathbf{X}}}=\xi_{\mathbf{X}}$.
    Tud\'\i{}\v z m\accent23u\v zeme zav\'est Poissonovu z\'avorku
    \begin{equation}
      \{f,g\}=\gamma_{f}(g)=-\gamma_{g}(f)=
      \sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}(\partial_{z}f\partial_{y}g-\partial_{y}f\partial_{z}g)
    \end{equation}
    Z p\v redchoz\'\i{}ch relac\'\i{} tedy dost\'av\'ame
    $$
      \{\lambda_{\mathbf{X}},\lambda_{\mathbf{Y}}\}=\lambda_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]}.
    $$

    \begin{itemize}
      \item \textbf{Reprezentace Lieovy algebry}
    \end{itemize}


    Nyn\'\i{} se m\accent23u\v zeme pod\'\i{}vat na reprezentaci dan\'e algebry
    $sl(2,\mathbb{R})$.
    \begin{equation}
     \varrho_{0}=\xi_{\mathbf{X}}+2\pi i\nu(\xi_{\mathbf{X}})+2\pi
     i\lambda_{\mathbf{X}}.
    \end{equation}
    Jak bylo uk\'az\'ano v p\v redchoz\'\i{} kapitole plat\'\i{}
    $$
       [\varrho_{0}(\mathbf{X}),\varrho_{0}(\mathbf{Y})]=\varrho_{0}([\mathbf{X},\mathbf{Y}])
    $$
    Pro p\v r\'\i{}klad si uve\v dme jak vypad\'a $\varrho_{0}(\mathbf{E})$.
    $$
       \varrho_{\mathbf{E}}=z\partial_{y}
      -(\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y)\partial_{z}+2\pi i(\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y)(1-\ln
      (\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}+y)\,).
    $$

    \begin{itemize}
     \item\textbf{Polarizace}
    \end{itemize}

    Budeme  si definovat pro prvek $f_{0} \leftrightarrow \mathbf{X}_{0}$
    antisymetrickou 2-formu na algeb\v re $sl(2,\mathbb{R})=\mathfrak{g}$
    $$
       B_{0}(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\langle f_{0},[\mathbf{X},\mathbf{Y}]\rangle=\mbox{Tr}\mathbf{X}_{0}^{T}[\mathbf{Y},\mathbf{Z}].
    $$
    Nulprostor formy $B_{0}$ ozna\v cme $\mathfrak{g}_{0}$.
    Polarizace je podprostor $\mathfrak{h}$, kter\'y je Lieova
    podalgebra a spl\v nuje
    \begin{eqnarray*}
        &(i) & \mathfrak{g}^{\mathbb{C}}\subset \mathfrak{h}\subset
        \mathfrak{g}^{\mathbb{C}}\\
        & (ii)&
        \dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{h}=\frac{1}{2}(\dim_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}+\dim_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}_{0})\\
        &(iii) &  B_{0}(\mathfrak{h},\mathfrak{h})\Leftrightarrow
        f_{0}|[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]=0\\
        &(iv) & \mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}}.
    \end{eqnarray*}
   Jak v\'\i{}me z p\v redchoz\'\i{} kapitoly, a  jeliko\v z plat\'\i{}
   $$
       B_{0}(\mathbf{E},\mathbf{F})=0,\quad
       B_{0}(\mathbf{H},\mathbf{E})=k,\quad
       B_{0}(\mathbf{H},\mathbf{F})=k,
   $$
    dost\'av\'ame $\mathfrak{g}_{0}=\mathbb{R}[\mathbf{E}-\mathbf{F}]
    $. Hled\'ame tedy $\mathfrak{h}$ ve tvaru
    $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\{\mathbf{E}-\mathbf{F},\alpha\mathbf{E}+\beta\mathbf{F}+\gamma\mathbf{H}\}$,
    kde $\alpha +\beta\neq 0 \vee \gamma\neq 0$.
    Z po\v zadavku, \v ze $\mathfrak{h}$ je Lieova podalgebra mus\'\i{} b\'yt
    vektory $\{\mathbf{E}-\mathbf{F},\alpha\mathbf{E}+\beta\mathbf{F}+\gamma\mathbf{H},[\mathbf{E}-\mathbf{F},
    \alpha\mathbf{E}+\beta\mathbf{F}+\gamma\mathbf{H}]\}$ line\'arn\v e
    nez\'avisl\'e. Jeliko\v z $[\mathbf{E}-\mathbf{F},\alpha\mathbf{E}+\beta\mathbf{F}+\gamma\mathbf{H}]=
    -2\gamma\mathbf{E}-2\gamma\mathbf{F}+(\alpha+\beta )\mathbf{H}$
    mus\'\i{} platit
    $$
        \det
       \left(\begin{array}{ccc}
      1 & -1 & 0 \\
      \alpha & \beta & \gamma \\
      -2\gamma & -2\gamma & \alpha + \beta
       \end{array}\right)
       = \alpha^{2}+2\alpha \beta +\beta^{2}+4\gamma^{2}=0
    $$
     Tud\'\i{}\v z $\gamma=\pm \frac{1}{2}i(\alpha+\beta) $ a dost\'av\'ame,
     \v ze
     $$
       \mathfrak{h}= \mathbb{C}\{\mathbf{E}-\mathbf{F},\alpha\mathbf{E}+\beta\mathbf{F}\pm
       \frac{1}{2}i(\alpha+\beta)\mathbf{H}\},\quad
       \overline{\mathfrak{h}}= \mathbb{C}\{\mathbf{E}-\mathbf{F},\overline{\alpha}\mathbf{E}+\overline{\beta}\mathbf{F}\pm
       \frac{1}{2}i(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\mathbf{H}\}.
     $$
     Spo\v c\'\i{}t\'ame
     $$
       \det
       \left(\begin{array}{ccc}
      1 & -1 & 0 \\
      \alpha & \beta & \frac{1}{2}i(\alpha+\beta) \\
      \overline{\alpha} & \overline{\beta} & -\frac{1}{2}i(\overline{\alpha}+\overline{\beta})
       \end{array}\right)=-i(\alpha+\beta)(\overline{\alpha}+\overline{\beta}).
     $$
     Jeliko\v z $|\alpha+\beta|^{2}\neq 0 $, potom
     $\dim_{\mathbb{C}}(\mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}})=3$ a
     $$
         \mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}}=\mathfrak{g}^{\mathbb{C}}
     $$
     Tud\'\i{}\v z $\alpha+\beta \neq 0$ a m\accent23u\v zeme ps\'at
     $$
      \alpha\mathbf{E}+\beta\mathbf{F}\pm
       \frac{1}{2}i(\alpha+\beta)\mathbf{H}=\alpha(\mathbf{E}-\mathbf{F})+(\alpha +
       \beta)(\mathbf{F}\pm\frac{1}{2}i\mathbf{H}),
     $$
     $$
       \mathfrak{h}_{\pm }= \mathbb{C} \{ \mathbf{E}-\mathbf{F},\mathbf{F}\pm
       \frac{1}{2} i \mathbf{H}\}.
     $$
     \begin{itemize}
        \item \textbf{Invariantn\'\i{} komplexn\'\i{} distribuce}
     \end{itemize}
     Distribuce v bod\v e $\mathbf{X}_{0}$
     $$
       \xi_{\mathbf{F}}\pm
       \frac{1}{2}i\xi_{\mathbf{H}}|_{y=0,z=0}=ik(\pm
       \partial_{y}+i\partial_{z})|_{y=0,z=0}
     $$
     po roznesen\'\i{} dost\'av\'ame
     $$
        \xi_{\mathbf{F}}+
       \frac{1}{2}i\xi_{\mathbf{H}}|_{(y,z)}=ik\left[\left((a-ib)^{2}+(d+ic)^{2}\right)\partial_{y}+i(a-ib)(d+ic)\partial_{z}
       \right]
     $$
     Po dosazen\'\i{} za
     $$
        a=\frac{\sqrt{k(-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}})}}{\sqrt{k^{2}+z^{2}}},\quad
       b=\frac{z\sqrt{-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\sqrt{k(k^{2}+z^{2}})}
     $$

     a vyn\'asoben\'\i{}m faktorem
     $$
        \frac{(k-iz)\left(\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}-y\right)}{-ik+z}
     $$
     dost\'av\'ame
      \begin{equation}
        \left(k^{2}-ikz
        +y\left(y-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\right)\partial_{y}
        -i(k-iz)\left(-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\partial_{z}\\
     \end{equation}
    a konjungovan\'a distribuce
      \begin{equation}
       \left(k^{2}+ikz
        +y\left(y-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\right)\partial_{y}
        +i(k+iz)\left(-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\partial_{z}\\
      \end{equation}

    \begin{itemize}
     \item \textbf{Komplexn\'\i{} struktura}
    \end{itemize}
    Zavedeme si nyn\'\i{} komplexn\'\i{} sou\v radnice $(w,\overline{w})$ na
    orbit\v e
    \begin{eqnarray*}
     \lefteqn{\partial_{\overline{w}}  =
     \left(\partial_{\overline{w}}y\right)\partial_{y}+\left(\partial_{\overline{w}}z\right)\partial_{z}=
     }
     \nonumber\\
     & & \left(k^{2}-ikz
        +y\left(y-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\right)\partial_{y}
        -i(k-iz)\left(-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\partial_{z}\\
     \lefteqn{ \partial_{w}  =
     \left(\partial_{w}y\right)\partial_{y}+\left(\partial_{w}z\right)\partial_{z}= } \nonumber\\
     & & \left(k^{2}+ikz +y\left(y-\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\right)\partial_{y}
        +i(k+iz)\left(-y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\partial_{z}.
    \end{eqnarray*}
    Jeliko\v z po\v zadujeme
    $\partial_{\overline{w}}\partial_{w}=\partial_{w}\partial_{\overline{w}}$ a
    $$
     \left(\begin{array}{cc}
      \partial_{y}\overline{w} & \partial_{z}\overline{w}\\
      \partial_{y}w &  \partial_{z}w
     \end{array}\right)=
     \left(\begin{array}{cc}
      \partial_{\overline{w}}y & \partial_{w}y\\
      \partial_{\overline{w}}z &  \partial_{w}z
     \end{array}\right)^{-1}
    $$
    dost\'av\'ame po vy\v re\v sen\'\i{}
    \begin{equation}
       \overline{w}=\frac{y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}}{ik+z},\quad
       w=\frac{y+\sqrt{k^{2}+y^{2}+z^{2}}}{-ik+z}.
    \end{equation}
    Zobrazujeme tedy na\v s\'\i{} orbitu $\mathcal{O}_{\mathbf{X}_{0}}$ na
    mno\v zinu $\mathcal{H}_{+}=\{w;\mbox{Im}(w)>0 \}$.
    Vyj\'ad\v r\'\i{}me si sou\v radnice $(y,z)$ v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch
    $(w,\overline{w})$.
    \begin{eqnarray}
       y(w,\overline{w})& = &
       ik\frac{w\overline{w}-1}{w-\overline{w}}\\
       z(w,\overline{w})& = & ik\frac{w+\overline{w}}{w-\overline{w}}
    \end{eqnarray}

    \begin{itemize}
      \item \textbf{Akce v komplexn\'\i{}ch sou\v radnic\'\i{}ch}

    \end{itemize}
    Vyj\'ad\v r\'\i{}me si $ g\cdot(x,y,z) $ v sou\v radnic\'\i{}ch $(w,\overline{w})$ rovnice (2.1),(2.2) a obdr\v z\'\i{}me
    $$
       x(w,\overline{w})=\frac{ik\left(a^{2}+b^{2}+\left(b^{2}+d^{2}\right)w\overline{w}+\left(ab+cd\right)
       \left(w+\overline{w}\right)\right)}{w-\overline{w}}
    $$
    $$
        y(w,\overline{w})=\frac{ik\left(-a^{2}+b^{2}+\left(-b^{2}+d^{2}\right)w\overline{w}+\left(-ab+cd\right)
       \left(w+\overline{w}\right)\right)}{w-\overline{w}}
    $$
    $$
       z(w,\overline{w})=\frac{ik\left( b\left( 2dw\overline{w}+c\left( w+\overline{w}\right)\right)
       +a\left(2c+d\left(w+\overline{w}\right)\right)\right)}{w-\overline{w}}.
    $$
    M\accent23u\v zeme ps\'at
    $$
      w'=\frac{y+x}{-ik+z}=\frac{2\left( c+dw \right)\left(c+d\overline{w}\right)}{\overline{w}+bc\overline{w}+w\left(
      2bd\overline{w}+bc-1\right)+a\left(2c+d\left(w+\overline{w}\right)\right)}=\frac{\left( c+dw \right)
      \left(c+d\overline{w}\right)}{\left(a+bw\right)\left(c+d\overline{w}\right)}=\frac{c+dw}{a+bw}.
    $$
     Z\'\i{}skali jsme tedy akci grupy $Sl_{2}(\mathbb{R})$ na mno\v zin\v e
     $\mathcal{H}_{+}$ vztahem
     \begin{equation}
      g\cdot w=\frac{c+dw}{a+bw},\quad g=\left(
      \begin{array}{cc}
      a & b \\
      c & d
      \end{array}\right)\in Sl_{2}{(\mathbb{R})}.
     \end{equation}
     Nyn\'\i{} se ve zkratce pod\'\i{}v\'ame na funkce $\lambda_{\mathbf{X}}$,
     p\v r\'\i{}slu\v sn\'a vektorov\'a pole $\xi_{\mathbf{X}}$, formy $\omega$ a
     $\nu$ v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch $(w,\overline{w})$.
     \begin{itemize}
       \item \textbf{Funkce $\lambda_{\mathbf{X}}$}

    \end{itemize}

    Nap\'\i{}\v seme si p\v r\'\i{}mo tyto funkce v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch pro bazick\'e prvky.
    \begin{equation}
      \lambda_{\mathbf{E}}(w,\overline{w})=\frac{2ikw\overline{w}}{w-\overline{w}},\quad \lambda_{\mathbf{F}}(w,\overline{w})
      =-\frac{2ik}{w-\overline{w}},\quad
      \lambda_{\mathbf{H}}(w,\overline{w})=\frac{2ik(w-\overline{w})}{w-\overline{w}}
    \end{equation}

     \begin{itemize}
       \item \textbf{ Vektorov\'a pole $\xi_{\mathbf{X}}$}

     \end{itemize}
     \begin{equation}
        \xi_{\mathbf{E}}=w^{2}\partial_{w}+\overline{w}^{2}\partial_{\overline{w}},\quad
        \xi_{\mathbf{F}}=-\partial_{w}-\partial_{\overline{w}},\quad
        \xi_{\mathbf{F}}=2w\partial_{w}+2\overline{w}\partial_{\overline{w}}.
     \end{equation}
     P\accent23usob\'\i{}-li tato vektorov\'a pole na prostoru holomorfn\'\i{}ch funkc\'\i{} na
     $\mathcal{H}_{+}$ lze zanedbat \v c\'ast z\'avisej\'\i{}c\'\i{} na
     $\overline{w}$ , proto\v ze pro holomorfn\'\i{} funkce plat\'\i{}
     $$
        \partial_{\overline{w}}f=0
     $$
     a dost\'av\'ame

     \begin{equation}
        \xi_{\mathbf{E}}=w^{2}\partial_{w},\quad
        \xi_{\mathbf{F}}=-\partial_{w},\quad
        \xi_{\mathbf{F}}=2w\partial_{w}.
     \end{equation}
      \begin{itemize}
       \item \textbf{ Symplektick\'a forma}

     \end{itemize}

     \begin{equation}
        \omega= \frac{2ik}{(w-\overline{w})^{2}}dw\wedge d\overline{w}
     \end{equation}
     a k n\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v sn\'a 1-forma
     \begin{equation}
        \nu = -\frac{2ik}{w-\overline{w}}dw
     \end{equation}
     Nyn\'\i{} u\v z se m\accent23u\v zeme pod\'\i{}vat na samotnou reprezentaci:
     \begin{itemize}
      \item \textbf{Reprezentace}

     \end{itemize}
     P\v rechodem od sou\v radnic $(x,y)$ k sou\v radnic\'\i{}m
     $(w,\overline{w})$ dost\'av\'ame po redukci

     \begin{equation}
       \begin{tabular}{|ccc|}
         \hline
         &&\\
         $\qquad\varrho_{\mathbf{E}}=w^{2}\partial_{w}+4\pi kw,$ &
         $\varrho_{\mathbf{F}}=-\partial_{w},$ &
         $\varrho_{\mathbf{H}}=2w\partial_{w}+4\pi k\qquad$\\
         &&\\
         \hline
       \end{tabular}
     \end{equation}
     \section{Rota\v cn\'\i{} hyperboloidy}

      V t\'eto \v c\'asti budeme konstruovat reprezentaci pro orbity
      dan\'e rovnicemi
      \begin{equation}
        x^{2}-y^{2}-z^{2}=-k^{2},\quad k\in \mathbb{R}.
      \end{equation}
      P\v rejdeme k sou\v radnic\'\i{}m $(x,\varphi)$ dan\'e vztahy
      \begin{equation}
        y=\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi,\quad
        z=\sqrt{k^{2}+x^{2}}\cos\varphi,\quad \varphi\in
        [-\pi,\pi].
      \end{equation}
       \begin{itemize}
        \item \textbf{Akce na orbit\v e}
       \end{itemize}

       Propo\v c\'\i{}t\'an\'\i{}m a porovn\'an\'\i{}m prav\'e a lev\'e strany rovnice

     $$
     \left (\begin{array}{cc}
     d & -c \\
     -b & a \\
     \end{array}\right)
     \left (\begin{array}{cc}
     \sqrt{k^{2}+x^{2}}\cos\varphi & x+\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi \\
     -x+\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi  & \sqrt{k^{2}+x^{2}}\cos\varphi \\
     \end{array}\right)
     \left (\begin{array}{cc}
     a & b \\
     c & d \\
     \end{array}\right)=
    $$
    $$
    =\left (\begin{array}{cc}
     \sqrt{k^{2}+(x')^{2}}\cos\varphi' & x'+\sqrt{k^{2}+(x')^{2}}\sin\varphi' \\
     x'+\sqrt{k^{2}+(x')^{2}}\sin\varphi'  & \sqrt{k^{2}+(x')^{2}}\cos\varphi' \\
     \end{array}\right)
    $$
    dost\'av\'ame
    \begin{eqnarray}
      \lefteqn{ x'= \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)x+ } \nonumber \\
      & &
      \frac{1}{2}\left(-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}\right)\sqrt{k^{2}+x^{2}}
     \cos\varphi+\left(ab+cd\right)\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi  \\
      \lefteqn{ \sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin(\varphi') =
      \frac{1}{2}\left(-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)x+} \nonumber
      \\
      & & \frac{1}{2}\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\right)\sqrt{k^{2}+x^{2}}
      \cos\varphi+\left(-ab+cd\right)\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi
      \\
      \lefteqn{\sqrt{k^{2}+(x')^{2}}\cos\varphi=} \nonumber \\
      & & (ac+bd)x+(-ac+bd)\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi+(bc+ad)\sqrt{k^{2}+x^{2}}
      \cos\varphi.
    \end{eqnarray}
    \begin{itemize}
      \item \textbf{Stabiliz\'ator}

    \end{itemize}

    Zvolme si nyn\'\i{}
    $$
    \mathbf{X}_{0}=\left(\begin{array}{cc}
    k & 0 \\
    0 & -k
     \end{array} \right)
    $$
    Stabiliz\'atorem tohoto prvku je grupa
    \begin{equation}
      \mathbb{G}_{0}=\left\{
      \left( \begin{array}{cc}
      \alpha & 0 \\
      0 &  \frac{1}{\alpha}
      \end{array}\right),\quad \alpha\in \mathbb{R}\right\}
    \end{equation}
     a
     \begin{equation}
      \mathfrak{g}_{0}=\mathbb{R}\left\{
      \left( \begin{array}{cc}
      1 & 0 \\
      0 & -1
      \end{array}\right)\right\}=\mathbb{R}\mathbf{H}.
    \end{equation}
    \begin{itemize}
      \item \textbf{Funkce $\lambda_{X}$}

    \end{itemize}
    Po jednoduch\'em v\'ypo\v ctu dost\'av\'ame pro bazick\'e prvky
    \begin{equation}
      \lambda_{\mathbf{E}}(x,\varphi)=x+\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi,\quad
      \lambda_{\mathbf{F}}(x,\varphi)=-x\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi,
      \quad
      \lambda_{\mathbf{H}}(x,\varphi)=2\sqrt{k^{2}+x^{2}}\cos\varphi.
    \end{equation}
     a
    \begin{equation}
      \lambda_{\mathbf{E-F}}(x,\varphi)=2x.
    \end{equation}
    \begin{itemize}
      \item \textbf{Infinitezim\'aln\'\i{} akce}

    \end{itemize}
     Podobn\'ymi v\'ypo\v cty, jak u p\v redchoz\'\i{} orbity dost\'av\'ame
    \begin{eqnarray}
        \xi_{\mathbf{E}}& = &-\sqrt{k^{2}+x^{2}}\cos\varphi\partial_{x}+\left(1+\frac{x}{\sqrt{k^{2}+x^{2}}
        \sin\varphi}\right)\partial_{\varphi}\\
        \xi_{\mathbf{F}}& = &-\sqrt{k^{2}+x^{2}}\cos\varphi\partial_{x}+\left(-1+\frac{x}{\sqrt{k^{2}+
        x^{2}}\sin\varphi}\right)\partial_{\varphi}\\
        \xi_{\mathbf{H}}& = & 2\sqrt{k^{2}+x^{2}}\sin\varphi\partial_{x}+2\frac{x}{\sqrt{k^{2}+x^{2}}}\cos\varphi
        \partial_{\varphi}
    \end{eqnarray}
    a
    \begin{equation}
       \xi_{\mathbf{E-F}}=2\partial_{\varphi}.
    \end{equation}
    \begin{itemize}
      \item \textbf{Symplektick\'a forma}
    \end{itemize}
    Podle definice
    $$
      \omega(\xi_{\mathbf{X}},\xi_{\mathbf{Y}})=-\lambda_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]}.
    $$
     dost\'av\'ame
     \begin{equation}
       \omega=-dx\wedge d\varphi
     \end{equation}
     a k n\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v snou 1-formu m\accent23u\v zeme ps\'at ve tvaru
     \begin{equation}
        \nu=-(x+\mu)d\varphi.
     \end{equation}
     \begin{itemize}
         \item \textbf{Polarizace}

     \end{itemize}
      Jeliko\v z plat\'\i{} relace
      \begin{eqnarray*}
       B_{0}(\mathbf{E},\mathbf{F})& = & 2k \\
       B_{0}(\mathbf{H},\mathbf{E})& = & 0 \\
       B_{0}(\mathbf{H},\mathbf{F})& = & 0
      \end{eqnarray*}
      Tud\'\i{}\v z hled\'ame podprostor $\mathfrak{h}$ ve tvaru
      $$
        \mathfrak{h}=\mathbb{C}\{\mathbf{H},\alpha \mathbf{E}+\beta
        \mathbf{F}\}\quad \alpha\neq 0\vee \beta\neq 0.
      $$
      Podobn\'ym postupem jako u p\v redchoz\'\i{} orbity, dostaneme dva
      podprostory:
      \begin{eqnarray*}
        \mathfrak{h}_{1}& = & \mathbb{C}\{\mathbf{E},\mathbf{H}\} \\
        \mathfrak{h}_{2}& = & \mathbb{C}\{\mathbf{F},\mathbf{H}\}.
      \end{eqnarray*}
      \begin{itemize}
         \item \textbf{Invariantn\'\i{} komplexn\'\i{} distribuce}
      \end{itemize}
      V bod\v e $\mathbf{X}^{0}$ dost\'av\'ame pro jednotliv\'e polarizace
      $$
      \xi|_{x=0,\varphi=0}=-k\partial_{x}+\partial_{\varphi},\quad
      \xi|_{x=0,\varphi=0}=-k\partial_{x}-\partial_{\varphi}
      $$
      Roznesen\'\i{}m akc\'\i{} po orbit\v e a pou\v zit\'\i{}m vztahu
      $$
       (a^{2}+b^{2})(b^{2}+d^{2})k^{2}=k^{2}+x^{2},
      $$

      kter\'y vypl\'yv\'a z rovnic (2.23) a (2.24) dost\'av\'ame
      $$
        -(k^{2}+x^{2})\partial_{x}+k\partial_{\varphi}
      $$
       pro polarizaci $\mathfrak{h}_{1}$ a
       $$
          (k^{2}+x^{2})\partial_{x}+k\partial_{\varphi}.
       $$

      \begin{itemize}
          \item \textbf{Nov\'e sou\v radnice}
      \end{itemize}
      \begin{itemize}
          \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}$
      \end{itemize}
      Zavedeme si sou\v radnice $(t,\theta)$, tak aby platilo
      $$
       \partial_{t}=-(k^{2}+x^{2})\partial_{x}+k\partial_{\varphi},\quad
       \partial_{\varphi}=\partial_{\theta},
      $$
      Dost\'av\'ame transformaci
      $$
        x=-k\tan(kt),\quad \varphi=kt+\theta,\quad
        t\in\left(-\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{2k}\right),\theta\in
        [-\pi,\pi]
      $$
      a k n\'\i{} inverzn\'\i{}
      $$
        t=-\frac{1}{k}\arctan\left(\frac{x}{k}\right),\theta=\arctan\left(\frac{x}{k}\right)+\varphi,\quad
        x\in\mathbb{R},\varphi\in[-\pi,\pi].
      $$
      \begin{itemize}
          \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{2}$
      \end{itemize}
      $$
       \partial_{t}=(k^{2}+x^{2})\partial_{x}+k\partial_{\varphi},\quad
       \partial_{\varphi}=\partial_{\theta},
      $$
      Dost\'av\'ame transformaci
      $$
        x=k\tan(kt),\quad \varphi=kt+\theta,\quad
        t\in\left(-\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{2k}\right)
      $$
      a k n\'\i{} inverzn\'\i{}
      $$
        t=\frac{1}{k}\arctan\left(\frac{x}{k}\right),\theta=-\arctan\left(\frac{x}{k}\right)+\varphi,\quad
        x\in\mathbb{R},\varphi\in[-\pi,\pi].
      $$
      Po redukci se m\accent23u\v zeme omezit na funkce, kter\'e nez\'avis\'\i{} na
      prom\v enn\'e $t$.
      \begin{itemize}
        \item \textbf{Akce v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch}
      \end{itemize}
      Pro p\v r\'\i{}pad $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}$ obdr\v z\'\i{}me
      transformaci sou\v radnice $\theta$
      $$
        \tan\frac{\theta'}{2}=\frac{c+d\tan\frac{\theta}{2}}{a+b\tan\frac{\theta}{2}},\quad
        g=\left(
        \begin{array}{cc}
        a & b \\
        c & d
        \end{array} \right)\in Sl_{2}(\mathbb{R})
      $$
      a v p\v r\'\i{}pad\v e $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{2}$ obdr\v z\'\i{}me
      transformaci sou\v radnice $\theta$
      $$
        \tan\frac{\theta'}{2}=\frac{-b+a\tan\frac{\theta}{2}}{d-c\tan\frac{\theta}{2}},\quad
        g=\left(
        \begin{array}{cc}
        a & b \\
        c & d
        \end{array} \right)\in Sl_{2}(\mathbb{R}).
      $$

      \begin{itemize}
        \item \textbf{Funkce $\lambda_{\mathbf{X}}$}
      \end{itemize}
      \begin{itemize}
        \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}$
      \end{itemize}
      Pro bazick\'e prvky dost\'av\'ame

      \begin{eqnarray}
       \lambda_{\mathbf{E}}(t,\theta)& = & k(\sin\theta+(-1+\cos\theta)\tan(kt)) \\
       \lambda_{\mathbf{F}}(t,\theta)& = & k(\sin\theta+(1+\cos\theta)\tan(kt)),\quad \lambda_{\mathbf{H}}(t,\theta)=
       2k\cos(kt+\theta)\sec(kt)
        \end{eqnarray}

      \begin{equation}
        \lambda_{\mathbf{E-F}}(t,\theta)=-2k\tan(kt).
      \end{equation}

      \begin{itemize}
        \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{2}$
      \end{itemize}


      \begin{eqnarray}
       \lambda_{\mathbf{E}}(t,\theta)& = & k(\sin\theta+(1+\cos\theta)\tan(kt)) \\
       \lambda_{\mathbf{F}}(t,\theta)& = & k(\sin\theta+(-1+\cos\theta)\tan(kt)),\quad \lambda_{\mathbf{H}}(t,\theta)=
       2k\cos(kt+\theta)\sec(kt)
        \end{eqnarray}

      \begin{equation}
        \lambda_{\mathbf{E-F}}(t,\theta)=2k\tan(kt).
      \end{equation}
      \begin{itemize}
         \item \textbf{Vektorov\'a pole v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch}
      \end{itemize}
      \begin{itemize}
         \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}$
      \end{itemize}
      \begin{eqnarray}
           \xi_{\mathbf{E}}& = &\frac{1}{2k}(\cos\theta
           +\cos(2kt+\theta))\partial_{t}+(1-\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{F}}& = &\frac{1}{2k}(\cos\theta
           +\cos(2kt+\theta))\partial_{t}-(1+\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{H}}& = &-\frac{1}{k}(\sin\theta+\sin(2kt+\theta))\partial_{t}+2\sin\theta
           \partial_{\theta}
      \end{eqnarray}
      a
      \begin{equation}
         \xi_{\mathbf{E-F}}=-2\partial_{\theta}
      \end{equation}
      Po redukci dostaneme
      \begin{eqnarray}
           \xi_{\mathbf{E}}& = &(1-\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{F}}& = &-(1+\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{H}}& = & 2\sin\theta \partial_{\theta}, \\
           \xi_{\mathbf{E-F}}& = &- 2\partial_{\theta}
      \end{eqnarray}
      \begin{itemize}
         \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{2}$
      \end{itemize}
      \begin{eqnarray}
           \xi_{\mathbf{E}}& = &-\frac{1}{2k}(\cos\theta
           +\cos(2kt+\theta))\partial_{t}+(1+\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{F}}& = &-\frac{1}{2k}(\cos\theta
           +\cos(2kt+\theta))\partial_{t}-(1-\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{H}}& = & \frac{1}{k}(\sin\theta+\sin(2kt+\theta))\partial_{t}-2\sin\theta
           \partial_{\theta}
      \end{eqnarray}
      a
      \begin{equation}
         \xi_{\mathbf{E-F}}=2\partial_{\theta}.
      \end{equation}
      Po redukci
      \begin{eqnarray}
           \xi_{\mathbf{E}}& = &(1+\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{F}}& = &-(1-\cos\theta)\partial_{\theta},\\
           \xi_{\mathbf{H}}& = & -2\sin\theta \partial_{\theta}, \\
           \xi_{\mathbf{E-F}}& = & 2\partial_{\theta}
      \end{eqnarray}
      \begin{itemize}
         \item \textbf{Symplektick\'a forma v nov\'ych sou\v radnic\'\i{}ch}
      \end{itemize}
      \begin{itemize}
         \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}$
      \end{itemize}
      Po transformaci dost\'av\'ame
      \begin{equation}
        \omega=\frac{k^{2}}{(\cos(kt))^{2}}dt\wedge d\theta
     \end{equation}
     a k n\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v sn\'a 1-forma je
     \begin{equation}
       \nu=(\mu+k\tan(kt))d\theta
     \end{equation}

     \begin{itemize}
         \item $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{2}$
      \end{itemize}
      Po transformaci dost\'av\'ame
      \begin{equation}
        \omega=-\frac{k^{2}}{(\cos(kt))^{2}}dt\wedge d\theta
     \end{equation}
     a k n\'\i{} p\v r\'\i{}slu\v sn\'a 1-forma je
     \begin{equation}
       \nu=(\mu-k\tan(kt))d\theta
     \end{equation}
     Po po\v zadavku antisymetrie oper\'ator\accent23u v prostoru $L^{2}[[-\pi,\pi],d\theta]$ a volbou $\mu=0$, reprezentace hled\'ame ve tvaru
     \begin{equation}
        \varrho(\mathbf{X})=\xi_{\mathbf{X}}+2\pi
        i\nu(\xi_{\mathbf{X}})+2\pi
        i\lambda_{\mathbf{X}}+\frac{1}{2}\mbox{\textit{div}}\xi_{\mathbf{X}}
     \end{equation}
     , kde v $\mbox{\textit{div}}(f (\theta)
     \partial_{\theta})=f'(\theta).$ V p\v r\'\i{}pad\v e $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}$
     dostaneme
      \begin{equation}
       \begin{tabular}{|c|}
         \hline
         $\qquad\varrho_{\mathbf{E}}=(1-\cos\theta)\partial_{\theta}+2i\pi k\sin\theta+\frac{1}{2}\sin\theta
         $\\
        $\varrho_{\mathbf{F}}=-(1+\cos\theta)\partial_{\theta}+2i\pi
         k\sin\theta+\frac{1}{2}\sin\theta
         $ \\
         $\varrho_{\mathbf{H}}=2\sin\theta\partial_{\theta}+4i \pi k\cos\theta +\cos\theta
         $\\
         \hline
       \end{tabular}
     \end{equation}
         $$
           \varrho(\mathbf{E-F})=2\partial_{\theta}
         $$
     a v p\v r\'\i{}pad\v e $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{2}$
     dostaneme
      \begin{equation}
       \begin{tabular}{|c|}
         \hline
         $\qquad\varrho_{\mathbf{E}}=(1+\cos\theta)\partial_{\theta}+2i\pi k\sin\theta-\frac{1}{2}\sin\theta
         $\\
        $\varrho_{\mathbf{F}}=(-1+\cos\theta)\partial_{\theta}+2i\pi
         k\sin\theta-\frac{1}{2}\sin\theta
         $ \\
         $\varrho_{\mathbf{H}}=-2\sin\theta\partial_{\theta}+4i \pi k\cos\theta +\cos\theta
         $\\
         \hline
       \end{tabular}
     \end{equation}
        $$
           \varrho(\mathbf{E-F})=2\partial_{\theta}
         $$


     \chapter{Hopfovy algebry}

   \begin{picture}(23,23)
     \put(0,23){\special{em:graph parabola.bmp}}
   \end{picture}


   \section{Algebry}
   V t\'eto kapitole se sezn\'am\'\i{}me se z\'aklady Hopfov\'ych algeber. Nejd\v r\'\i{}ve si zavedeme pojem asociativn\'\i{} algebry s jednotkou
   (budeme \v r\'\i{}kat kr\'atce jen algebry, ale mysl\'\i{}me v\v zdy asociativn\'\i{} algebru s jednotkou).

  \definice{\textit{\v R\'\i{}k\'ame, \v ze vektorov\'y prostor $ A $ nad t\v elesem $ K $ je asociativn\'\i{}
            algebra s jednotkou, pr\'av\v e tehdy  jsou-li  d\'ana biline\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{}
            $ m:A\otimes A\rightarrow A $, kter\'e
            naz\'yv\'ame \textit{n\'asoben\'\i{}}, line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} $\eta:K\rightarrow A $, kter\'e
            naz\'yv\'ame \textit{jednotka} a spl\v nuj\'\i{} n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} relace:
              \begin{equation}
                 m\circ(m\otimes id)= m\circ( id\otimes \eta),
                 m\circ(\eta\otimes id )=id =m \circ(id\otimes \eta ).
              \end{equation}}}

   Pou\v zijeme-li zna\v cen\'\i{} $ab:=m(a \otimes b)$ lze p\v redch\'azej\'\i{}c\'\i{} relace zapsat:
     $$
       (ab)c=a(bc),\,\eta(1)a=a\eta(1)=a
     $$
   $\eta(1)$ budeme ozna\v covat $1$, podobn\v e jako jednotku v algeb\v re K. Pokud vezmeme v \'uvahu i bilinearitu dostaneme na v\'\i{}c:
     $$
       (a+b)c=ac+bc,\,a(b+c)=ab+ac,\, \alpha(ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b).
     $$
   Pro ka\v zd\'e $a,b,c \in A$ a $\alpha\in K $.
   Pou\v zijeme-li symboliku komutativn\'\i{}ch diagram\accent23u obdr\v z\'\i{}me:
   \begin{equation}
    \begin{array}{ccc}
      A\otimes A\otimes A & \stackrel{\rm m \otimes id}{\rightarrow} & A\otimes A \\
      \downarrow \rm id \otimes m & \, &\downarrow m \\
      A\otimes A & \stackrel{m}{\rightarrow}& A
    \end{array}
   \end{equation}
 Pro asociativn\'\i{} z\'akon a pro vlastnost jednotky:
   \begin{equation}
     \begin{array}{ccccc}
      K \otimes A & \stackrel{\eta \otimes id}{\rightarrow}&\ A\otimes A &\stackrel{id \otimes
      \eta}{\leftarrow}& A\otimes K \\
      \downarrow \rm id & \, & \downarrow m & \, & \downarrow \rm id \\
      K\otimes A & \Leftrightarrow & A  & \Leftrightarrow &
      A\otimes K , \\
     \end{array}
  \end{equation}
 kde $ K\otimes A \Leftrightarrow$ a $ A \Leftrightarrow  A\otimes
 K $ ozna\v cuje kanonick\'y  izomorfismus.

 D\'ale si m\accent23u\v zeme definovat homomorfismus asociativnich algeber $ A,B$ jako line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} $\varphi: A \rightarrow B$, kter\'e
 spl\v nuje $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$. Nebo taky:
 $$
 \varphi \circ m_{A}=m_{B}\circ ( \varphi \otimes \varphi)\quad \mbox{a} \quad \varphi \circ \eta_{A}=\eta_{B}
 $$

 Dal\v s\'\i{} operac\'\i{} kterou m\accent23u\v zeme prov\'ad\v et s algebrami $A, B $ a vytvo\v rit novou algebru je operace tenzorov\'y sou\v cin $A\otimes
 B$ s n\'asoben\'\i{}m  $m_{A\otimes B}:=(m_{A}\otimes m_{B})\circ (id\otimes \tau \otimes id) $, kde $ \tau:A\otimes
 B\rightarrow B\otimes A $ je line\'arn\'\i{} a $\tau(a\otimes b)=b\otimes a$ pro libovoln\'e $a\in A $ , $b \in B $ a s
 jednotkou $\eta_{A\otimes B}:= \eta_{A}\otimes \eta_{B} $.\\

\section{Koalgebry}
  Koalgebra m\'a jak\'ysi du\'aln\'\i{} charakter vzhledem k definici algebry.Co\v z bude patrn\'e z n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} definice.

 \definice{\textit{Nech\v t $A$ je vektorov\'y prostor nad
 t\v elesem $K$. D\'ale nech\v t jsou d\'any line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{}
 $\Delta:A\rightarrow A\otimes A$ a $\varepsilon: A\rightarrow K$, kter\'a spl\v nuj\'\i{} relace:
  \begin{equation}
     (\Delta \otimes id)\circ \Delta =(id\otimes \Delta)\circ \Delta,
  \end{equation}
  \begin{equation}
    (\varepsilon \otimes id)\circ \Delta = id = (id\otimes
     \varepsilon)\circ \Delta.
  \end{equation}
  Zobrazen\'\i{} $\Delta$ naz\'yv\'ame kon\'asoben\'\i{} a zobrazen\'\i{} $ \epsilon$ kojednotkou.}}\\

 Je snadn\'e si v\v simnout, \v ze operace jsou definov\'any obdobn\v e jak u algeber jenom v opa\v cn\'em sm\v eru.Pokud vlastnosti
 kon\'asoben\'\i{} a kojednotky nap\'\i{}\v seme do diagramu dost\'av\'ame n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}:
 \begin{equation}
    \begin{array}{ccc}
       A\otimes A\otimes A & \stackrel{ \Delta \otimes id}{\leftarrow} & A\otimes A \\
       \uparrow \rm id \otimes \Delta & \, &\uparrow m \\
       A\otimes A & \stackrel{\Delta}{\leftarrow}& A
    \end{array}
   \end{equation}
 Pro koasociativn\'\i{} z\'akon a pro vlastnost kojednotky:
   \begin{equation}
     \begin{array}{ccccc}
       K \otimes A & \stackrel{\varepsilon \otimes id}{\leftarrow}&\ A\otimes A &\stackrel{id \otimes
       \varepsilon}{\rightarrow}& A\otimes K \\
       \uparrow \rm id & \, & \uparrow \Delta & \, & \uparrow \rm id \\
       K\otimes A & \Leftrightarrow & A  & \Leftrightarrow & A\otimes K , \\
     \end{array}
   \end{equation}

  Podobn\v e jako u algeber \v r\'\i{}k\'ame, \v ze zobrazen\'\i{} $\varphi$ je
  \textit{homomorfismus koalgeber} $A,B$ spl\v nuje-li:
  $$
   \Delta_{B}\circ \varphi = (\varphi\otimes \varphi)\circ
   \Delta_{A}\quad\mbox{a} \quad \varepsilon_{A}=\varepsilon_{B}\circ\varphi.
  $$
  Dal\v s\'\i{} obdoba je zaveden\'\i{} struktury koalgebry na tenzorov\'em sou\v cinu koalgeber. Budi\v z $A,B$ koalgebry, potom
  definujeme kon\'asoben\'\i{}  a  kojednotku:
  $$
  \Delta_{A\otimes B}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta_{A}\otimes
  \Delta_{B}) \quad \mbox{a}\quad \varepsilon_{A\otimes
  B}:=\varepsilon_{A}\otimes\varepsilon_{B}.
  $$
  Je\v st\v e poznamenejme,\v ze koalgebra je kokomutativn\'\i{} plat\'\i{}-li $\Delta =\tau\circ \Delta $.

  Nyn\'\i{} se sezn\'am\'\i{}me s Sweederevou zna\v cen\'\i{}m pro kon\'asoben\'\i{}. Nech\v t $a\in A$ obecn\v e lze ps\'at $$\Delta(a)=\sum_{i}a_{1i}\otimes
  a_{2i},$$ kde $a_{1i},a_{2i}\in A $ zap\'\i{}\v seme ji symbolicky jako:
  $$
  \Delta(a)=\sum a_{(1)}\otimes a_{(2)},
  $$
  Zavedeme  nyn\'\i{} indukc\'\i{} zobrazen\'\i{} $ \Delta^{(n)}:A\rightarrow A^{\otimes n+1}$: $$\Delta^{(n)}:= (id\otimes \Delta)\circ
  \Delta^{(n-1)},\quad n>1\quad \mbox{a}\quad \Delta^{(1)}=\Delta
  $$
  Podle Sweedlerovy notace lze zapsat $ \Delta^{(n)}$:
  \begin{equation}
    \Delta^{(n)}=\sum a_{(1)}\otimes a_{(2)}\otimes ...\otimes
     a_{(n+1)}.
  \end{equation}
  Sweedlerova notace je hlavn\v e velmi u\v zite\v cn\'a a praktick\'a, kdy\v z pracujeme s obecn\'ymi Hopfov\'ymi algebrami ,jak p\v ri formulaci vztah\accent23u
  tak p\v ri jejich d\accent23ukazech. Uk\'a\v zeme jak se d\'a elegantn\'\i{}m zp\accent23usobem zapsat vlastnost kon\'asoben\'\i{} a kojednotky.
  $$ \sum
  (a_{(1)})_{(1)}\otimes (a_{(1)})_{(2)}\otimes a_{(2)}= \sum
  a_{(1)}\otimes (a_{(2)})_{(1)}\otimes (a_{(2)})_{(2)}=
  \Delta^{(2)}=\sum a_{(1)}\otimes a_{(2)}\otimes a_{(3)}.$$
  \begin{equation}
   a=\sum \varepsilon(a_{(1)})a_{(2)}=\sum a_{(1)}\varepsilon
   (a_{(2)}).
  \end{equation}

  \lemma{\textit{ Nech\v t $A$ je koalgebra a $B$ je algebra. Potom vektorov\'y prostor $L(A,B)$ v\v sech line\'arn\'\i{}ch zobrazen\'\i{} $A$
  do $B$ s \textit{konvoluc\'\i{}}
  \begin{equation}
   (f\ast g)(a):=(m_{B}\circ (f\otimes g)\circ \Delta)(a)\equiv \sum
   f(a_{(1)})g(a_{(2)})\quad\mbox{pro v\v secna}\quad a\in A,
  \end{equation}
  tvo\v r\'\i{} algebru s jednotkou $\eta_{B}\circ \varepsilon_{A}$.}}

  \textit{D\accent23ukaz}: T\v reba dok\'azat asociativitu a vlastnost jednotky.
  $$
    ((f\ast g)\star h)(a)=\sum f(a_{(1)})g(a_{(2)})h(a_{(3)})=(f\ast (g \star h))(a)
  $$ A relace
  $$
  ((\eta_{B}\circ \varepsilon_{A})\ast f)(a)=\sum\varepsilon_{A}(a_{(1)})f(a_{(2)})=f(\varepsilon_{A}(a_{(1)})a_{(2)})=f(a).
  $$
  \dusledek{\textit{ Vektorov\'y prostor $A^{\prime}$ tvo\v r\'\i{} strukturu koalgebry se sou\v cinem:}}
  \begin{equation}
    (fg)(a):=(f\ast g)(a)=\sum  f(a_{(1)})g(a_{(2)})\quad \mbox{\textit{pro v\v sechna}}\quad a \in A \quad f,g\in A^{\prime}.
  \end{equation}

  Na du\'aln\'\i{}m prostoru lze definovat i strukturu koalgebry. Je-li $A$ algebra a jako vektorov\'y prostor kone\v cn\'e dimenze, m\accent23u\v zeme zav\'est
  $\Delta_{A^{\prime}}:=f\circ m_{A}$, potom m\'ame jistotu, \v ze $\Delta_{A^{\prime}}\in A^{\prime}\otimes A^{\prime}$. Pro
  obecnou dimenzi plat\'\i{}, \v ze $\Delta_{A^{\prime}}\in (A\otimes A)^{\prime}$. Kojednotkou bude
  $\varepsilon_{A^{\prime}}(f):=f(\eta_{A}(1))$.


  \section{Bialgebry}
  Bialgeba je algebra a z\'arove\v n koalgebra, kde ob\v e struktury jsou sv\'azan\'e v n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m smyslu.

  \lemma{\textit{ Pro vektorov\'y prostor $A$ nad $K$ , kter\'y je algebra a sou\v casn\v e koalgebra jsou n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} podm\'\i{}nky
  ekvivalentn\'\i{}: $(i)\quad \Delta:A\rightarrow A\otimes A \quad \mbox{a}\quad \varepsilon:A\rightarrow K $ \textit{jsou
  algebraick\'e homomorfismy}.}}

  $(ii)\,\,m:A\otimes A\rightarrow A\quad \mbox{a} \quad \eta:K\rightarrow A$ \textit{jsou koalgebrack\'e homomorfismy}.

  \textit{D\accent23ukaz:} Z definice $(i)$ znamen\'a:
  \begin{equation}
   \Delta \circ m=m_{A\otimes A}\circ (\Delta\otimes \Delta),\quad\Delta\circ\eta=\eta_{A\otimes A},\quad \varepsilon\circ
   m = m_{K}\circ(\varepsilon\otimes\varepsilon),\quad \varepsilon\circ \eta=\eta_{K},
  \end{equation}
  pro $(ii)$ dost\'av\'ame:
  \begin{equation}
   \Delta\circ m=(m\otimes m)\circ \Delta_{A\otimes A},\quad
   \varepsilon_{A\otimes A}=\varepsilon\circ m,\quad \Delta\circ\eta=(\eta\otimes \eta)\circ \Delta_{K},\quad
   \varepsilon_{K}=\varepsilon \circ  \eta.
  \end{equation}
  Prav\'a strana prvn\'\i{} relace ve v\'yrazu $(1.12)$ lze zapsat$(m\otimes m )\circ (id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes
  \Delta)$. Co\v z je to sam\'e co prvn\'\i{} relace ve $(1.13)$. Druh\'a relace ve $(1.12)$ je stejn\'a jako t\v ret\'\i{} ve $(1.13)$ a druh\'a relace ve
  $(1.13)$ je stejn\'a jako t\v ret\'\i{} ve $(1.12)$, Posledn\'\i{} dv\v e jsou stejn\'e a znamenaj\'\i{} $\varepsilon(1)=1$.

  Nyn\'\i{} tedy bude n\'asledovat vlastn\'\i{} definice bialgebry.

  \definice{\textit{ \v R\'\i{}k\'ame,\v ze vektorov\'y prostor $A$ je bialgebra , pr\'av\v e kdy\v z je algebra a z\'arove\v n koalgebra a vyhovuje p\v redch\'azej\'\i{}c\'\i{}mu
  lemmatu. Neboli pro libovoln\'e $a,b\in A$ plat\'\i{} n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} relace:}}
  \begin{equation}
    \Delta(ab)=\Delta(a)\Delta(b),\quad \varepsilon(ab)=\varepsilon(a)\varepsilon(b),\quad \Delta(1)=1\otimes
    1,\quad \varepsilon(1) =1.
  \end{equation}

  Podobn\v e jak u algeber a u koalgeber definujeme homomorfismu bialgeber.Co\v z je zobrazen\'\i{} kter\'e je jak algebraick\'y homomorfismus
  tak koalgebraick\'y homomorfismus. Obdobn\v e definujeme $A\otimes B$. Ka\v zd\'a bialgebra sebou nese i dal\v s\'\i{} t\v ri struktury. T\v emi
  jsou $A^{op},A^{cop},A^{op,cop}$, kter\'e maj\'\i{} bu\v d opa\v cn\'e n\'asoben\'\i{} nebo kon\'asoben\'\i{} a nebo maj\'\i{} opa\v cn\'e oboj\'\i{}.

  \section{Hopfovy algebry}
  N\'asleduj\'\i{}c\'\i{} definice a vlastnosti jsou z\'akladem v teorii kvantov\'ych grup.

  \definice{\textit{ Bialgebra $A$ se naz\'yv\'a Hopfovou algebrou, existuje-li line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} $S:A\rightarrow A$, kter\'e
  naz\'yv\'ame \textit{antipodem} algebry a spl\v nuje:}}
  \begin{equation}
     m\circ(S\otimes id)\circ \Delta=\eta\circ \varepsilon =m\circ(id\otimes S)\circ \Delta.
  \end{equation}

  Pomoc\'\i{} komutativn\'\i{}ho diagramu to zn\'azorn\'\i{}me n\'asledovn\v e:
   $$
    \begin{array}{ccccc}
      A \otimes A & \stackrel{\Delta}{\leftarrow}&\ A &\stackrel{A}
      {\rightarrow}& A\otimes A \\
      \downarrow \rm id\otimes S & \, & \downarrow \eta\circ \varepsilon & \, & \downarrow S\otimes id \\
      A\otimes A & \stackrel{m}{\rightarrow} & A  & \stackrel{m}{\leftarrow} &
      A\otimes A , \\
    \end{array}
   $$
  Pou\v zijeme-li Sweedlerovu notaci obdr\v z\'\i{}me n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} rovnici:
   \begin{equation}
      \sum S(a_{(1)})a_{(2)}=\varepsilon (a)1=\sum a_{(1)}S(a_{(2)}),
   \end{equation}
   kde $\Delta(a)=\sum a_{(1)}b_{(2)}$. Tuto rovnici m\accent23u\v zeme interpretovat u\v zit\'\i{}m konvoluce na $L(A,A)$. \v R\'\i{}k\'ame, \v ze bialgebra
   algebra je Hopfovou algrebrou pr\'av\v e kdy\v z, k $id$ existuje inverzn\'\i{} prvek na algeb\v re $(L(A,A),\ast)$, kter\'y se naz\'yv\'a antipod.
   V dal\v s\'\i{}m si pop\'\i{}\v seme n\v ekter\'e z\'akladn\'\i{} vlastnosti antipodu.

   \lemma{\textit{ Antipod $S$ Hopfovy algebry $A$ je algebraick\'y antihomomorfismus a koalgebraick\'y anti-homomorfismus
   $A$. Co\v z znamen\'a, \v ze $A:\rightarrow A^{op}$ je algebraick\'y homorfismus a $S:A\rightarrow A^{cop}$ je koalgebraick\'y
   homomorfismus. Co\v z zap\'\i{}\v seme:}}
   \begin{equation}
      S(ab)=S(a)S(b),\quad a,b\in A\quad \mbox{a} \quad S(1)=1,
   \end{equation}
   \begin{equation}
      \Delta\circ S=\tau \circ(S\otimes S)\circ \Delta\quad\mbox{a}\quad \varepsilon \circ S=\varepsilon.
   \end{equation}

   \textit{D\accent23ukaz}: P\v ri d\accent23ukazu pou\v zijeme Sweedlerovu notaci a vyu\v z\'\i{}v\'ame toho, \v ze $\Delta\,\,\mbox{a}\,\,\varepsilon$ jsou
   algebraick\'e homomorfismy.
   \begin{eqnarray*}
    S(a)S(b)& = &\sum S(b_{(1)}\varepsilon(b_{(2)}))S(a_{(1)}\varepsilon(a_{(2)}))\\
            & = & \sum S(b_{(1)})S(a_{(1)})\varepsilon(a_{(2)}b_{(2)})\\
            & = & \sum S(b_{(1)})S(a_{(1)})(a_{(2)}b_{(2)})_{(1)}S((a_{(2)}b_{(2)})_{(2)})\\
            & = & \sum S(b_{(1)})S(a_{(1)})a_{(2)}b_{(2)}S(a_{(3)}b_{(3)})\\
            & = & \sum S(b_{(1)})(\varepsilon(a_{(1)})1)b_{(2)}S(a_{(2)}b_{(3)})\\
            & = & \sum\varepsilon(a_{(1)})\varepsilon(b_{(1)})S(a_{(2)}b_{(2)})=S(a b).\\
   \end{eqnarray*}
   Vztah $S(1)=1$, vypl\'yv\'a z p\v r\'\i{}mo z definice Hopfovy algebry. Toti\v z plat\'\i{} $m\circ(S\otimes id)\circ \Delta(1)= \varepsilon(1)1$, co\v z
   je p\v r\'\i{}mo hledan\'y vztah pokud bereme v \'uvahu $\Delta(1)=1\otimes
   1$ a $\varepsilon(1)=1$. D\'ale
   \begin{eqnarray*}
        \tau\circ(S\otimes S)\circ \Delta(a) & = & \sum S(a_{(2)})S(a_{(1)})\\
        & = & \sum S(a_{(2)}\varepsilon(a_{(3)}))\otimes S(a_{(1)})\\
        & = & \sum (S(a_{(2)})\otimes S(a_{(1)}))(\varepsilon(a_{(3)})1\otimes 1)\\
        & = & \sum (S(a_{(2)})\otimes S(a_{(1)}))(\Delta(a_{(3)}S(a_{(4)})))\\
        & = & \sum (S(a_{(2)})\otimes S(a_{(1)}))(a_{(3)}\otimes a_{(4)})\Delta(S(a_{(5)}))\\
        & = & \sum (S(a_{(2)})a_{(3)}\otimes S(a_{(1)})a_{(3)})(\Delta(S(a_{(5)})))\\
        & = & \sum (\varepsilon(a_{(2)})1\otimes S(a_{(1)})a_{(3)})(\Delta(S(a_{(5)})))\\
        & = & \sum (1\otimes S(a_{(1)})a_{(2)})(\Delta(S(a_{(3)})))\\
        & = & \sum(1\otimes \varepsilon(a_{(1)})1)(\Delta(S(a_{(2)})))= \Delta(S(a)),
   \end{eqnarray*}
   Co\v z je prvn\'\i{} vztah v $(1.18)$. Zb\'yv\'a tedy posledn\'\i{} vztah.
       $$\varepsilon(S(a))=\varepsilon(S(\sum a_{(1)}\varepsilon(a_{(2)})))=\varepsilon(\sum S(a_{(1)})a_{(2)})=
       \varepsilon(\varepsilon(a)1)=\varepsilon(a).\qquad\square$$
   Ve Sweedlerov\v e notaci lze prvn\'\i{} vztah v $(1.18)$ zapsat jako
    $$
      \sum S(a)_{(1)}\otimes S(a)_{(2)}= \sum S(a_{(2)})S(a_{(1)}).
    $$

   Je jasn\'e, \v ze pokud $A$ je Hopfova algebra, tak $A^{op,cop}$ je
   taky Hopfova algebra. Ot\'azkou z\accent23ust\'av\'a jak je to s
   $A^{op}\,\,\mbox{a}\,\, A^{cop}$. To n\'am \v r\'\i{}k\'a n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} lemma.

   \lemma{\textit{ Nech\v t $A$ je Hopfova algebra. Potom n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} tvrzen\'\i{} jsou ekvivalentn\'\i{}.}}
   \begin{tabbing}
     xx\quad \= (iii)\quad \= \kill
     \> (i) \> \textit{Antipod} $S$ \textit{algebry} $A$ \textit{je invertibiln\'\i{} line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} na $A$.}\\
     \> (ii) \> \textit{Bialgebra} $A^{op}$ \textit{je Hopfova algebra.}\\
     \> (iii) \> \textit{Bialgebra} $A^{cop}$ \textit{je Hopfova algebra.}\\
   \end{tabbing}
   V tomto p\v r\'\i{}pad\v e je inverze $S^{-1}$ oper\'atoru S antipodem Hopfov\'ych algeber $A^{op}\,\,\mbox{a}\,\,A^{cop}$.

   \textit{D\accent23ukaz:} Dok\'a\v zeme pouze ekvivalenci mezi (i) a (ii).Obdobn\v e se uk\'a\v ze ekvivalence mezi (i)a (ii).\\
   (i)$\Rightarrow$ (ii): Je jasn\'e,
   \v ze $S^{-1}$ je tak\'e antihomomorfismus algebry $A$. Dost\'av\'ame tedy:
   \begin{eqnarray*}
    \sum S^{-1}(a_{(2)})a_{(1)} & = & \sum S^{-1}(a_{(2)})(S^{-1}\circ S)(a_{(1)})=S^{-1}(\sum
    S(a{(1)})a_{(2)})\\
    & = & S^{-1}(\varepsilon(a)1)=\varepsilon(a)1 \\
   \end{eqnarray*}
    a podobn\v e $ \sum a_{(2)} S^{-1}(a_{(1)}) $.\\
   (ii)$\Rightarrow $ (i): Nech\v t $S^{/}$ ozna\v cuje antipod $S^{op}$.
    Proto\v ze $S^{/}$ je algebraick\'y anti-homomorfismus $A$ dost\'av\'ame:
   \begin{eqnarray*}
      S^{/}\circ S(a) & = & S^{/}\circ S(\sum \varepsilon(a_{(2)})a_{(1)})=\sum \varepsilon (a_{(2)})S^{/}\circ S(a_{(1)}\\
      & = & (a_{(3)}S^{/}(a_{(2)}))(S^{/}\circ S(a_{(1)}))=\sum a_{(3)}S^{/}(S(a_{(1)})a_{(2)})\\
      & = & \sum (a_{(2)}S^{/}(\varepsilon(a_{(1)}))1)=a \\
   \end{eqnarray*}
   a obdobn\v e lze uk\'azat $S\circ S^{/}= id  \qquad \square $.

   \dusledek{\textit{ Jestli\v ze Hopfova algebra  je komutativn\'\i{} a
   kokomutativn\'\i{}, potom }} $ S^{2}= id.$ \\
   \textit{D\accent23ukaz:} V\v se plyne z toho, \v ze $A=A^{op}$ a $A=A^{cop}\qquad\square.$\\
   Dal\v s\'\i{} analogickou vlastnost jako u algeber, koalgeber a bialgeber se zav\'ad\'\i{} homorfismus $\varphi:A\rightarrow B $ Hopfov\'ych algeber
   $A,B$ , co\v z je homomorfismus p\v r\'\i{}slu\v sn\'ych bialgeber, kter\'y spl\v nuje
   $\varphi\circ S_{A}=S_{B}\circ\varphi $ Poznamenejme je\v st\v e jedno u\v zite\v cn\'e lemma.\\
   lemma{ Nech\v t} $ A_{g}$ je mno\v zina gener\'ator\accent23u algebry $A$ a nech\v t
   jsou d\'any homomorfismy $ \Delta: A\rightarrow A\otimes A\,
    ,\,\,\varepsilon:A\rightarrow K $ a anti-homomorfismus algebry
   $ S:A\rightarrow A $.Potom jestli\v ze jsou spln\v ena vlastnosti
   kon\'asoben\'\i{} a kojednotky pro prvky v $ A_{g}$ potom je lze
   roz\v s\'\i{}\v rit na cel\'e $ A $ a $ A$ tvo\v r\'\i{} bialgebru ( resp. Hopfovu
   algebru ).\\

   Nyn\'\i{} bych cht\v el poznamenat n\v ekolik v\v et k du\'aln\'\i{}mu p\'arov\'an\'\i{} dvou Hopfov\'ych algeber. Definice du\'aln\'\i{}ho p\'arov\'an\'\i{} je motivov\'ana
   vztahy mezi Hopfovou algebrou $A$ a k n\'\i{} du\'aln\'\i{} Hopfovou algebrou $A^{\prime}$ v n\'\i{}\v z je definov\'ano n\'asoben\'\i{} $fg(a)=(f\otimes
   g)\Delta(a)\equiv \sum f(a_{(1)})g(a_{(2)})$. Pro $f$ definujeme funkcion\'al na $(A\otimes A)\prime $ jako  $\Delta(f)(a\otimes
   b):=(f\circ m)(a\otimes b)\equiv f(ab)\,\,\mbox{pro ka\v zd\'e }\, f\in A^{\prime}\,\,\mbox{a}\,\,a,b\in A. $ Co\v z pro kone\v cnou
   dimenzi je mo\v zno, nebo\v t $A^{\prime}\otimes A^{\prime}= (A\otimes A)^{\prime}$. A tak\'e $\Delta(f)\in A^{\prime}\otimes A^{\prime}$.
   Kojednotku a jednotku definujeme $\varepsilon_{A^{\prime}}(f)=f(1) $ a $1_{A^{\prime}}=\varepsilon(a)$. U\v z zb\'yv\'a jenom antipod, kter\'y definujeme
   $S(f)(a)=f(S(a))$. Na z\'aklad\v e definujeme du\'aln\'\i{} p\'arov\'an\'\i{} n\'asledovn\v e:
   \definice{\textit{ Du\'aln\'\i{} p\'arov\'an\'\i{} dvou bialgeber $U,B$ je zobrazen\'\i{} $\langle.,.\rangle:U\times B\rightarrow K$, kter\'e spl\v nuje:
   \begin{equation}
    \langle \Delta_{U}(f),b_{1}\otimes b_{2}\rangle=\langle f,b_{1}b_{2} \rangle,\quad
    \langle f_{1}f_{2},b \rangle=\langle f_{1}f_{2},\Delta_{B}(b) \rangle,
   \end{equation}
   \begin{equation}
    \langle f , 1_{B} \rangle
    = \varepsilon_{U}(f)\quad
    \langle 1_{U},b\rangle= \varepsilon_{B}(b).
   \end{equation}
   pro v\v sechny $f,f_{1}, f_{2}\in U $ a $b,b_{1},b_{2}\in B$. Du\'aln\'\i{} p\'arov\'an\'\i{} naz\'yv\'ame
   nedegenerovan\'e, jestli\v ze $\langle.,.\rangle$je nedegenerovan\'e zobrazen\'\i{}, co\v z znamen\'a:
   Jestli\v ze $\langle f,b\rangle=0$ pro v\v sechna $f\in U$, potom $b=0$ a jestli\v ze $\langle f,b\rangle=0$
   pro v\v sechna $b\in B$, potom $f=0$}}\\

   Nyn\'\i{} bude n\'asledovat lemma, kter\'e n\'am \v r\'\i{}k\'a n\v eco i o antipodech jednotliv\'ych Hopfov\'ych algeber.
   \lemma{\textit{Jestli\v ze $\langle.,.\rangle$ je du\'aln\'\i{} p\'arov\'an\'\i{} dvou Hopfov\'ych algeber $U$ a $A$, potom
   $\langle S(f),a\rangle = \langle f,S(a)\rangle $ pro ka\v zd\'e $f\in U,\quad a\in A $.  }}\\
   D\accent23ukaz prov\'ad\v et nebudeme.
   \section{$\ast$-struktura}
   Budeme konstruovat $\ast$-strukturu a budeme p\v redpokl\'adat, \v ze $K$ je $C$. Hv\v ezdi\v cka je struktura na vektorov\'em
   prostoru realizovan\'a zobrazen\'\i{}m $\star:A\rightarrow A$, kter\'e zapisujeme jako $a^{\ast}$ a naz\'yv\'ame ji \textit{involuc\'\i{}}.
   Z\'akladn\'\i{} vlastnostmi involuce jsou: $(\alpha v + w)^{\ast}=\overline{\alpha}(v)^{\ast}+w^{\ast}$ a $(v^{\ast})^{\ast}$
   pro v\v sechny $a,b\in A$ a $\alpha \in C $ . Pro hv\v ezdi\v ckovou strukturu na  algeb\v re po\v zadujeme, aby $(ab)^{\ast}=a^{\ast} b^{\ast}$.

   Pro Koalgebry $A$ definujeme hv\v ezdi\v ckovou strukturu jako $\ast:A\rightarrow A$, kter\'a je p\v r\'\i{}slu\v sn\'y algebraick\'y homomorfismus.
   To znamen\'a, \v ze plat\'\i{}$ (\Delta a)\ast=\Delta(a)\ast$, kde involuci na $A\otimes A$ definujeme $(a\otimes b)\ast
   :=a\ast \otimes b\ast$. V ka\v zd\'e koalgeb\v re plat\'\i{} $(\varepsilon (a))\ast=\varepsilon(a\ast)$ pro libovoln\'e $a\in A$.
   \v R\'\i{}k\'ame, \v ze na bialgeb\v re m\'ame definovanou konvoluci, pr\'av\v e kdy\v z $\ast$  definovan\'a na $A$ je konvoluce p\v r\'\i{}slu\v sn\'e
   algebry a koalgebra. A Hopfova algebra, na jej\'\i{}\v z bialgeb\v re je definov\'ana konvoluce se naz\'yv\'a Hopfova
   $\ast$-algebra. Nakonec si uk\'a\v zeme vztah mezi p\v r\'\i{}slu\v snou konvoluc\'\i{} na Hopfov\v e algeb\v re a jej\'\i{}m antipodem.
   \lemma{\textit{Nech\v t $A$ je Hopfova $\ast$-algebra a $S$ je jej\'\i{} antipod , potom plat\'\i{}:
   $$S\circ \ast \circ S \circ \ast = id $$, neboli $ S(S(a^{\ast})^{\ast})$. Z \v ceho\v z tak\'e vypl\'yv\'a, \v ze $S$
   je invertibiln\'\i{} line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{}.   }}

   \textit{D\accent23ukaz:} Ozna\v cme $T=\ast \circ \ S \circ \ast$ . Potom pou\v zijeme lemma o invertibilnosti
   antipodu a toho, \v ze $\ast$ je homomorfismus  vzhledem k $\Delta$ , pro $a= b^{\ast}$. Dost\'av\'ame:
   $$
    (\varepsilon(a))^{\ast}=\varepsilon(a^{\ast})=\varepsilon(b)=\sum b_{(2)}T(b_{(1)}=\sum T(b_{(2)})b_{(1)},
   $$
   z \v ceho\v z vypl\'yv\'a invertibilita $S$ a $ S^{-1}=\ast\circ S \circ \ast \qquad \square $ .
   \dusledek{\textit{Pokud $A$ tvo\v r\'\i{} Hopfovou $\ast$-algebru, potom lze na du\'aln\'\i{}m prostoru $A^{\prime}$ zav\'est, tak\'e hv\v ezdi\v ckovou
   strukturu n\'asledovn\v e:}}
   \begin{equation}
    f^{\ast}=\overline{f(S(a)^{\ast})},\quad f\in A^{\prime}.
   \end{equation}

   \section{P\v r\'\i{}klady Hopfov\'ych algeber}
   \priklad{\textit{(Algebra funkc\'\i{} na kone\v cn\'e grup\v e)}}\\
   Nech\v t $\mathbb{G}$ je kone\v cn\'a grupa a $A= Fun(\mathbb{G})$ algebra funkc\'\i{} na $\mathbb{G}$ s n\'asoben\'\i{}m $(fg)(a)=f(a)g(a)$. Dim$A$=$|\mathbb{G}|$.
   Jednotku $\eta:\mathbb{K}\rightarrow A$ definujeme $\eta(x)= x$ pro libovoln\'e $x\in \mathbb{K}$. Pro kone\v cnost dimenze prostoru
   $A$ plat\'\i{} dim$Fun(\mathbb{G}\times \mathbb{G} )=$ dim$( A\otimes A)$, nebo\v t ob\v e maj\'\i{} stejnou a kone\v cnou dimenzi rovnou $|\mathbb{G}|^{2}.$
   Jestli\v ze $f\in A$, potom polo\v z\'\i{}me $ \Delta(f)\in Fun(\mathbb{G}\times\mathbb{G})$ p\v redpisem
   $$
    (\Delta f)(a_{1},a_{2})=f(a_{1}a_{2}),
   $$
   kde $a_{1}a_{2}$ je n\'asoben\'\i{} v grup\v e $G$.Kojednotku a antipod zav\'ad\'\i{}me:
   $$
    \varepsilon(f)=f(e),\quad (Sf)(f)(a)=f(a^{-1}),
   $$
   kde $e$ je jednotka grupy $\mathbb{G}$.
   \priklad{\textit{(Grupov\'a algebra kone\v cn\'e grupy)}}
   Nech\v t op\v et $\mathbb{G}$ je kone\v cn\'a  grupa a nech\v t $ U$ je grupov\'a algebra. Grupovou algebrou rozum\'\i{}me vektorov\'y
   prostor jeho\v z b\'azi tvo\v r\'\i{} prvky grupy $\mathbb{G}$. To jest , libovoln\'y prvek $x\in U$ lze ps\'at :
   $$
    X= \sum_{a\in \mathbb{G}}x_{a}a,\quad x_{a}\in \mathbb{K}.
   $$
    Op\v et je dim$U=|\mathbb{G}|$. N\'asoben\'\i{} se zad\'a na bazick\'ych vektorech $a,b\in \mathbb{G}$ a v tomto p\v r\'\i{}pad\v e se
    shoduje s grupov\'ym n\'asoben\'\i{}m. Jednotka se definuje $\eta(x)=xe$ pro libovoln\'e $x\in \mathbb{K}$. Obdobn\v e kojednotku
    a kon\'asoben\'\i{} lze zadat na prvc\'\i{}ch b\'aze. Tud\'\i{}\v z:
    $$
     \Delta(a)=a\otimes a,\quad \varepsilon(a)=1,\quad S(a)=a^{-1},\quad a\in \mathbb{G}.
    $$

    Tyto dva p\v r\'\i{}klady maj\'\i{} tu vlastnost, \v ze jsou si navz\'ajem du\'aln\'\i{}. To jest jsou s p\'arov\'any p\v res p\'arov\'an\'\i{} dan\'e
    vztahem:
    $$
     \langle.,.\rangle:(x,f)\rightarrow \langle x,f\rangle= \sum_{a\in \mathbb{G}}x_{a}f(a)
    $$
    \priklad{\textit{(Univerz\'aln\'\i{} obaluj\'\i{}c\'\i{} algebra)}}
    Libovoln\'emu vektorov\'emu prostoru $\mathbb{V}$ nad $\mathbb{K}$ lze p\v ri\v radit tenzorovou algebru  $T\mathbb{V}$,
    $$
      T\mathbb{V}= \mathbb{K}\oplus \mathbb{V}\oplus (\mathbb{V}\otimes \mathbb{V})\oplus(\mathbb{V}\otimes \mathbb{V} \otimes \mathbb{V})\oplus... ,
    $$
    kde n\'asoben\'\i{}m je tenzorov\'y sou\v cin $\otimes$.

     Nech\v t $g$ je Lieova algebra. Univerz\'aln\'\i{} obaluj\'\i{}c\'\i{} algebra je $U(g)=Tg/I$, kde $I$ je oboustrann\'y ide\'al
     generovan\'y prvky
     $$
        x\otimes y -y\otimes x -[x,y],\quad x,y \in g.
     $$
    $U(g)$ je nekone\v cn\v erozm\v ern\'a asociativn\'\i{} algebra. Podrobn\v ej\v s\'\i{} informaci o struktu\v re t\'eto algebry d\'av\'a n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}
    (Poincar\'e-Birkhoff-Witt)v\v eta: \textit {je-li $\{x_{1},x_{2},...,x_{N}\}$ libovoln\'a b\'aze v algeb\v re $g$,
    potom prvky
    $$
       x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{N}^{n_{N}},\quad n_{1},n_{2},...,n_{N}\in Z_{+},
    $$
    tvo\v r\'\i{} algebraickou b\'azi v $U(g)$.}\\
    Tud\'\i{}\v z z toho vypl\'yv\'a, \v ze algebra $g$ je vno\v rena v $U(g)$ jako vektorov\'y podprostor a $g$ generuje $U(g)$.

    Nadefinujeme-li na $U(g)$ kon\'asoben\'\i{}, kojednotku a antipod (sta\v c\'\i{} zadat na gener\'atorech $U(g)$) n\'asledovn\v e:
    $$
     \Delta(x)=x\otimes 1 +1\otimes x,\quad \varepsilon(x)=0,\quad S(x)=-x,\qquad x\in g.
    $$

   \chapter{Konstrukce reprezentac\'\i{}}
   \section{Motivace}
    Nech\v t je d\'ana kompaktn\'\i{} Lieova grupa $\mathbb{G}$ a
    $\mathfrak{g}$ p\v r\'\i{}slu\v sn\'a Lieova algebra.
    M\'ame-li tedy  algebru $\mathfrak{g}$ a jej\'\i{} infinitesim\'aln\'\i{}
    akce $\xi:\mathfrak{g}\rightarrow \mathcal{X}(\mathfrak{g})$,
    tak nemus\'\i{} v\v zdy v\'est k ireducibiln\'\i{} reprezentaci. Jak v\'\i{}me z kapitoly o metod\v e orbit p\v rid\'ame-li
    k t\'eto infinitesim\'aln\'\i{} akci holomorfn\'\i{} funkci definovanou na
    zvolen\'e orbit\v e. Potom libovoln\'emu prvku $X$ algebry
    $\mathfrak{g}$ p\v ri\v rad\'\i{}me diferenci\'aln\'\i{} oper\'ator 1. \v r\'adu
    n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}m p\v redpisem $X \rightarrow \xi_{X} + \varphi_{X}$. Z
    po\v zadavk\accent23u na reprezentaci dost\'av\'ame
    \begin{equation}
         \xi_{X}(\varphi_{Y})-\xi_{Y}(\varphi_{X})=\varphi_{[X,Y]}.
    \end{equation}

    Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} na to, jak jak konstruovat reprezentaci
    Hopfovy algebry $\mathcal{U}$. Pod\'\i{}vejme se na Hopfovu algebru
    $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$. Libovoln\'emu prvku $X\in
    \mathfrak{g}$ p\v ri\v razujeme diferenci\'aln\'\i{} oper\'ator p\accent23usob\'\i{}c\'\i{} na
    $f\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{G})$ p\v redpisem
    \begin{equation}
        (Xf)(g)=\frac{d}{dt}|_{t=0}f(g\exp(tX)).
    \end{equation}
    Potom m\accent23u\v zeme pro libovoln\'y prvek $A=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}$

   \begin{equation}
      (Af)(g)=\frac{\partial^{n}}{\partial t_{1}\partial t_{2}\cdots \partial
      t_{n}}|_{t_{1}=t_{2}=\ldots =t_{n}=0} f( g \exp(t_{1} X_{1}) \exp(t_{2} X_{2}) \cdots
      \exp(t_{n} X_{n}) ).
   \end{equation}
   Tud\'\i{}\v z Hopfova algebra $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ p\accent23usob\'\i{} na algeb\v re
   $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{G})$ a plat\'\i{}

   \begin{eqnarray}
       & X(1)&  =  \varepsilon(1)1,\qquad \forall X\in
       \mathcal{U}(\mathfrak{g})\\
       & X(fg) & =(X_{(1)}f)(X_{2}g),\qquad \forall X\in
       \mathcal{U}(\mathfrak{g}),\quad \forall f,g\in
       \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{G}),
   \end{eqnarray}
    kde v Hopfov\v e algeb\v re $ \Delta(X)=\sum X_{(1)}\otimes X{(2)}$.
   \section{Konstrukce}
    Inspirov\'ani p\v redchoz\'\i{}mi vlastnostmi p\accent23usoben\'\i{} Hopfovy algebry
    $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ na algeb\v re funkc\'\i{}
    $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{G})$ obdr\v z\'\i{}me n\'asleduj\'\i{}c\'\i{}
    zobecn\v en\'\i{}.

    Nech\v t $\mathcal{U}$ je bialgebra, kde $\varepsilon$ ozna\v cuje kojednotku a $\Delta$ kon\'asoben\'\i{}. Ozna\v cme
    $\mathcal{C}$ algebru s jednotkou, kter\'a je nav\'\i{}c lev\'y $\mathcal{U}$-modul s akc\'\i{}
    $$
      \xi :\mathcal{U}\otimes \mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C},
    $$ kter\'a spl\v nuje n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} relace:


    \begin{eqnarray}
     & \xi_{x}\cdot 1 & = \varepsilon(x)1,\qquad \forall x\in \mathcal{U} \\
     & \xi_{x}\cdot fg & = (\xi_{x_{(1)}}\cdot f)(\xi_{x_{(2)}}\cdot
     g),\qquad \forall x\in \mathcal{U}.\quad \forall f,g\in
     \mathcal{C}.
    \end{eqnarray}
     Zna\v c\'\i{}me $\xi{x,f}\leftrightarrow \xi_{x}\cdot f $. Relace (4.7) naz\'yv\'ame Leibnizov\'ym pravidlem.
     \lemma{\textit{M\v ejme d\'anu line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} $\varphi:\mathcal{U}\rightarrow \mathcal{C}$, kter\'e
     spl\v nuje }}
     \begin{eqnarray}
     &  &  \varphi(1)=1,\\
     &  & \varphi(xy)=(\xi_{x_{(1)}}\cdot
      \varphi(y))\varphi(x_{(2)}),\qquad \forall x,y\in
      \mathcal{U}.
     \end{eqnarray}
     \textit{Potom vztah}

     \begin{equation}
     x\cdot f :=(\xi_{x_{(1)}}\cdot f)\varphi(x_{(2)}),\qquad \forall x\in \mathcal{U},
     \quad \forall f\in \mathcal{C}
     \end{equation}
      \textit{definuje lev\'y
     $\mathcal{U}$-modul a plat\'\i{}}
     \begin{equation}
      x\cdot (fg)=(\xi_{x_{(1)}}\cdot f)(x_{2}\cdot g),
      \qquad \forall x\in \mathcal{U},\quad \forall f,g \in \mathcal{C}
      \end{equation}
      \textit{a speci\'aln\v e}

      \begin{equation}
      x \cdot 1 =\varphi(x)\qquad \forall x\in
      \mathcal{U}
      \end{equation}
      \textit{Opa\v cn\v e m\v ejme
      $\mathcal{U}\otimes \mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C}
      :x\otimes f\mapsto x\cdot f $ je levou  $\mathcal{U}$
      -modul strukturu na $\mathcal{C}$
      , tak \v ze je spln\v eno (4.11). Potom zobrazen\'\i{} $\varphi:\mathcal{U}\rightarrow \mathcal{C}$ definovan\'e
      vztahem (4.12) spl\v nuje podm\'\i{}nky (4.8) a (4.9).}

      Pod\'\i{}vejme se nyn\'\i{} na trivi\'aln\'\i{} p\v r\'\i{}klad.
      \priklad { M\v ejme $\chi:\mathcal{U}\rightarrow \mathbb{C}$ je algebraick\'y homomorfismus ( charakter )
      a polo\v zme $\varphi(x)=\chi (x)1,\quad \forall x\in \mathcal{U}$. Potom $\varphi $ spl\v nuje (4.8) a(4.9).
      Pokud vol\'\i{}me $\chi =\varepsilon $ dost\'av\'ame p\accent23uvodn\'\i{} $\mathcal{U}$-modul strukturu. Tud\'\i{}\v z $x\cdot f =\xi_{x}\cdot f $ }

      Obvykle, kdy\v z pracujeme z funkc\'\i{} $\varphi$ p\v redpokl\'ad\'ame, \v ze
      algebra $\mathcal{U}$ je generov\'ana mno\v zinou gener\'ator\accent23u $\mathcal{M}\subset
      \mathcal{U}$. Nech\v t $\mathcal{F}$ je voln\'a algebra
      generov\'ana mno\v zinou $\mathcal{M}$. Potom $\mathcal{U}$ je
      izomorfn\'\i{} kvocient algeb\v re $\mathcal{F}/\langle
      \mathcal{R}\rangle$, kde $\langle\mathcal{R}\rangle$ je
      ide\'al generovan\'y mno\v zinou $\mathcal{R}$. Nech\v t $\pi$
      p\v rirozen\'a projekce $\pi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{U}$.
      Tud\'\i{}\v z je mo\v zno pomoc\'\i{} zobrazen\'\i{} $\pi$ p\v rej\'\i{}t od struktury
      $\mathcal{U}$ ke struktu\v re $\mathcal{F}$. Dost\'av\'ame
      \begin{eqnarray}
        &\widetilde{\varepsilon} & := \varepsilon \circ \pi \\
        &\widetilde{\xi}_{x}\cdot f & := \xi_{\pi(x)}\cdot
        f,\qquad \forall x\in \mathcal{F},\quad \forall f \in
        \mathcal{C}.
      \end{eqnarray}
      Nav\'\i{}c p\v redpokl\'adejme, \v ze mno\v zina gener\'ator\accent23u $\mathcal{M}\subset
      \mathcal{U}$ se chov\'a dob\v re vzhledem ke kon\'asoben\'\i{}. P\v resn\v eji
      $$
         \Delta(\mathcal{M})\subset \mathbb{C}(\mathcal{M}_{1}\otimes
         \mathcal{M}_{1}), \qquad \mathcal{M}_{1}:=\mathcal{M}\cup
         \{1\}.
      $$
      Potom p\v rirozen\v e definujeme kon\'asoben\'\i{} $\widetilde{\Delta}$
      na $\mathcal{F}$ rovnic\'\i{}
      \begin{equation}
         \widetilde{\Delta}(x_{1}\cdots
         x_{n}):=\Delta (x_{1})\ldots \Delta(x_{n}),\qquad x_{i}\in
         \mathcal{M}.
      \end{equation}
      Jeliko\v z $\mathcal{U}$ je  bialgebra , $\mathcal{R}$ mus\'\i{}
      spl\v novat
      \begin{equation}
           \widetilde{\Delta}(\mathcal{R})\subset \langle
           \mathcal{R}\rangle \otimes
           \mathcal{F}+\mathcal{F}\otimes \langle
           \mathcal{R}\rangle.
      \end{equation}
      T\'\i{}mto zp\accent23usobem vytvo\v rena  struktura na $\mathcal{F}$ tvo\v r\'\i{}
      bialgebru a trojce $(\mathcal{F},\xi,\mathcal{C})$ spl\v nuje
      p\accent23uvodn\'\i{} podm\'\i{}nky (4.6) a (4.7) jen nahrad\'\i{}me $\mathcal{U}$,
      $\mathcal{F}$ a $\xi$, $\widetilde{\xi}$. Lemma 4.2.1 je
      spln\v eno i pro $\mathcal{F}$. Ale v p\v r\'\i{}pad\v e voln\'e algebry je
      snadn\v ej\v s\'\i{} popsat v\v sechna line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{}
      $\widetilde{\varphi}:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{C}$ s
      po\v zadovan\'ymi vlastnostmi.
      \lemma {\textit{Nech\v t $\mathcal{F}$ a $\mathcal{M}$ maj\'\i{} stejn\'y v\'yznam
      jak v\'y\v se. Potom k libovoln\'e zobrazen\'\i{} $\varphi:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{C}$
      existuje jedin\'e line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{} $\widetilde{\varphi}:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{C}$,
       takov\'e \v ze $\widetilde{\varphi}(1)=1$ a plat\'\i{}   }}
       \begin{equation}
          \widetilde{\varphi}(xy)=(\widetilde{\xi}_{x_{(1)}}\cdot
          \widetilde{\varphi}(y))\widetilde{\varphi}(x_{(2)}),
       \end{equation}
      \textit{pro libovoln\'e $x,y \in \mathcal{F}.$}

      V posledn\'\i{}m kroku se pod\'\i{}v\'ame jak\'e podm\'\i{}nky je t\v reba nalo\v zit
      na zobrazen\'\i{} $\widetilde{\varphi}$ p\v ri faktorizaci z
      $\mathcal{F}$ k $\mathcal{U}=\mathcal{F}/\langle
      \mathcal{R}\rangle$. O tom vypov\'\i{}d\'a n\'asleduj\'\i{}c\'\i{} lemma.
      \lemma{\textit{P\v redpokl\'adejme, \v ze je d\'ano zobrazen\'\i{} $\varphi:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{C}$ a nech\v t
      $\widetilde{\varphi}$ je roz\v s\'\i{}\v reno na $\mathcal{F}$, kter\'e je popsan\'e v p\v redchoz\'\i{}m lemmatu. Jestli\v ze}}
       \begin{equation}
         (\pi \otimes \widetilde{\varphi})\circ
         \widetilde{\Delta}(\mathcal{R})=0
       \end{equation}
       \textit{potom $\widetilde{\varphi}(\langle \mathcal{R}\rangle)=0$ a existuje  jedno line\'arn\'\i{} zobrazen\'\i{}
       $\varphi':\mathcal{U}\rightarrow \mathcal{C}$ takov\'e, \v ze $\widetilde{\varphi}=\varphi'\circ \pi$.
       Nav\'\i{}c $\varphi'$ spl\v nuje rovnice (4.8)a(4.9).
      $\mathcal{R}$ spl\v nuje siln\v ej\v s\'\i{} podm\'\i{}nku ne\v z je (4.16)}
       \begin{equation}
          \widetilde{\Delta}(\mathcal{R})\subset \langle
           \mathcal{R}\rangle \otimes
           \mathcal{F}+\mathcal{F}\otimes \mathcal{F}
           \mathcal{R},
       \end{equation}
       \textit{a $\widetilde{\varphi}$ slab\v s\'\i{} podm\'\i{}nku}
       \begin{equation}
          \widetilde{\varphi}(\mathcal{R})=0.
       \end{equation}

        \end{document}
