 \documentclass[12pt]{report}


 \usepackage[czech]{babel}
 \usepackage[latin2]{inputenc}
 \usepackage[OT1]{fontenc}
 \usepackage[dvips]{graphicx}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amssymb}

 

\author{Rešeršní práce 2002 / 2003\\ \\ \\ \\ \\ 
        vypracoval: Marek Filan \\ \\školitel: prof.Ing. Pavel Šťovíček, DrSc.} 

\title{Konstrukce reprezentací grupy SU(2) metodou orbit} 

\date{}
   


  

 \begin{document}


  \maketitle

  \tableofcontents


 \chapter{Úvod}   % U    V    O    D

         
                 Cílem této práce je představit \emph{metodu orbit} jakožto 
                 pozoruhodnou metodu konstrukce reprezentací souvislých Lieových
                 grup a jejich Lieových algeber.

                   Metoda orbit vykazuje všechny znaky moderního matematického 
                 objektu, v tom smyslu, že vytváří konkrétní průsečík 
                 alespoň tří moderních matematických odvětví: teorie reprezentací,
                 diferenciální geometrie a matematické fyziky.
                    
                   Její cíl a motivace jsou reprezentačně teoretické, ale prostředky
                 jsou geometrické a inspirované fyzikou (konkrétně procesem 
                 \emph{"geometrického kvantování"} funkcí (pozorovatelných)
                 na symplektickém homogenním prostoru (fázovém prostoru 
                 \emph{mechanické soustavy se symetrií})).
                 Pro fyziku má metoda orbit zpětně netriviální důsledky 
                 např. přirozený důvod pro kvantování náboje \emph{Diracova 
                 magnetického monopólu}.  \bigskip     
                  
                   Po obecném úvodu (kapitola 1) a představení několika hlavních bodů
                 obecné metody orbit (kapitola 2), byl hlavní důraz kladen na
                 aplikaci metody orbit při explicitní
                 konstrukci všech ireducibilních reprezentací Lieovy algebry 
                 $\mathfrak{su}(2)$ (kapitola 3).\bigskip


                   Metoda orbit byla vyvinuta začátkem 70.let v pracích J.-M.Sauriaua,
                 A.A.Kirillova a B.Kostanta. 

          Jde o teorii umožňující konstrukci unitárních
          ireducibilních reprezetancí pro velice širokou třídu konečněrozměrných 
          souvislých Lieových grup (zahrnující i kompaktní, i poloprosté Lieovy grupy).

          Celá metoda orbit je popsána v původních pracích \cite{ko} a současných 
          monografiích zabývajících se teorií reprezentací.
          My si představíme její hlavní rysy a myšlenkové pochody, které využijeme a              
          ilustrujeme v 3.kapitole. 


 
\section{Proč "orbity"?}


  \emph{Orbitami} se obecně myslí komponenty tranzitivnosti akce Lieovy grupy $G$ na nějakém prostoru. 

          Působí-li totiž grupa $G$ na nějakém prostoru (varietě) $M$, můžeme zavést
          relaci ekvivalence mezi body na varietě: 
          $x_2 \sim x_1 \ \Leftrightarrow \ \exists g \in G \ x_2=g\rhd x_1$. 
          Třídy ekvivalence ("komponenty tranzitivnosti") tvoří orbity. 
          Máme tak rozklad $M$ na orbity, kde $G$ působí již transitivně 
          (jsou to \emph{homogenní prostory}). 
          Ještě názorněji zformulováno, můžeme vzít bod $x_0$ z $M$ a 
          "pustit" na něj akci $G\rhd x_0$ , vygenerovaná množina je právě orbita 
          obsahující $x_0$. 

          (Př. "rotace kolem počátku" v $\mathbb{R}^2$, orbitami jsou kružnice se
          středem v počátku a počátek sám.)     

          V \emph{metodě orbit} je působící grupou právě Lieova grupa $G$, kterou 
          chceme reprezentovat, ale prostor, na kterém působí, není obecný.
          Je to duální prostor $\mathfrak{g}^*$ k Lieově algebře $\mathfrak{g}$
          odpovídající $G$. Akce, kterou $G$ na $\mathfrak{g}^*$ působí se nazývá 
          \emph{koadjungovaná akce}, je lineární a vždy existuje.  

          "Orbity" v metodě orbit jsou tedy rozkladové třídy $\mathfrak{g}^*$, 
          dokonce tvoří souvislé podvariety $\mathfrak{g}^*$.\medskip

{\bf $\bullet$ Proč, ale právě orbity koadjungované akce?}\medskip

          Zkonstruované orbity nejsou pouze jakési příklady homogenních prostorů
          (variet se symetrií), ale jejich "umístění"  v $\mathfrak{g}^*$ nám dává
          možnost explicitní konstrukce další struktury na těchto varietách: 
          (globální) \emph{symplektické 2-formy $\omega$}. 

          Orbity koadjungované akce, se tak kromě homogenním prostorem, 
          stávají také \emph{symplektickými varietami (fázovými prostory)} 
          se symetrií. 

          Aby byl "zázrak" dokonán působí 1-parametrické podgrupy $G$ jako 
          kanonické transformace (zachovávají $\omega$). 

          Takovéto fázové prostory "připouštějící předepsanou grupu symetrie"
          ($G$ působí tranzitivně a zachovává $\omega$) hrají důležitou roli 
          v klasické mechanice soustav se symetrií \cite{to}. 
          Souriau, Kostant a Kirillov ukázali, že naopak 
          \emph{každý takový fázový prostor lze získat jako pokrytí některé 
          orbity koadjungované akce}\cite{to}. 
   
 

 \section{Geometrické kvantování jako "zdroj" lineárních reprezentací}



          Od Lieovy grupy $G$ a algebry $\mathfrak{g}$ je tak možno se, pomocí orbit 
          koadjungované reprezentace, dostat do "jádra" \emph{symplektické geometrie},
          fyzikálně řečeno, Hamiltonovské mechaniky. Nyní tam naopak objevíme $\mathfrak{g}$.

          Podstatné je, že konstrukce umožňuje explicitně nalézt konečněrozměrnou 
          podalgebru nekonečněrozměrné Lieovy algebry $(\cal A,\{,\})$ hladkých 
          funkcí na orbitě (tzv.Poissonovy algebry), která je \emph{izomorfní} s 
          $\mathfrak{g}$.  

          Fyzikálně řečeno: na zkonstruovaném fázovém prostoru se symetrií (orbitě) 
          existuje Poissonova podalgebra pozorovatelných izomorfní s $\mathfrak{g}$.  
          (klasická "reprezentace", nebo chceme-li \emph{"klasická část" metody orbit})   

          V rámci "klasické mechaniky" je tak dosaženo "maximum" \cite{to} 
          \footnote{Což může být asi dost netriviální, zvolíme-li si jako $G$ 
          Poincaréovu nebo konformní grupu.}.\medskip

          V tomto okamžiku se v metodě orbit "fyzikální" motivace setkávají s 
          motivacemi "reprezentačními", totiž nahradit komutativní algebru hladkých
          funkcí (pozorovatelných) na symplektické varietě (fázovém prostoru) 
          nekomutativní algebrou linearních operátorů (kvantových pozorovatelných) 
          na jakémsi Hilbertově prostoru (prostoru kvantových stavů): 
          \emph{kvantování}. \medskip     





{\bf $\bullet$ Geometrické kvantování}\medskip




         Jednou z metod kvantování, kterou fyzici vyvinuli, je tzv. \emph{geometrické
         kvantování}. Nápad je následující:  Nechť je dána obecná symplektická 
         varieta $(M,\omega)$, potom díky uzavřenosti $\omega$ existuje lokálně
         1-forma $\alpha, \ d\alpha=\omega|_U$. Nechť je dále $f$ hladká funkce 
         (pozorovatelná) na $M$ a $\xi_f$ k ní odpovídající hamiltonovské vektorové
         pole (viz.níže), potom můžeme na hladkých komplexních funkcích na $M$ 
         (nebo jen na $U$) definovat lin.dif.operátor reprezentující $f$ jako:

\begin{equation}
  \rho(f) \ := \ \nabla_{\xi_f}+if \ , \ {\rm{kde}} \quad \nabla_{\xi_f}=\xi_f+i\alpha(\xi_f) \ . 
\end{equation}

         To je velice zajímavý nápad, neboť je-li Poissonova závorka vhodně
         zadefinována jako 
$\{f,g\}:= -\ \omega(f,g) $ (viz.níže), potom 
\begin{equation}
   [ \rho(f),\rho(g) ] \ = \ \rho(\{f,g\}) \ ,
\end{equation}    
                 
         a tedy $\rho$ je opravdu homomorfismem Lieových algeber. 

         Nedokážu posoudit jakou z toho mají radost fyzici, ale pro nás je to
         \emph{relativně} skvělá zpráva.  "Klasická část" metody orbit nám
         umožnila vnořit $\mathfrak{g}$ do $(\cal A,\{,\})$ a tuto Lieovu algebru
         máme nyní reprezentovánu pomocí $\rho$.
         Složením homomorfismů tak máme i reprezentaci $\mathfrak{g}$(!).\bigskip

         Bohužel, zpráva o  reprezentacích získaných geometrickým kvantováním
         je jen "relativně skvělá",
         neboť sice je tak možno dostat spoustu lineárních reprezentací (různé orbity,
         na nich symplektické formy, různá $\alpha_U$,...), ale pravděpodobně budou:

\begin{itemize}
   \item vysoce \emph{reducibilní}
   \item většina z nich bude mezi sebou \emph{ekvivalentních}
\end{itemize}

         Proto, tento "fyzikální" námět bylo třeba zobecnit a zrigoróznět,
         což je právě hlavním obsahem významné práce B.Kostanta \cite{ko}, kde

\begin{itemize}
   \item  neekvivalentnost zajistí práce s \emph{komplexními line-bundly s konexí}

          (tzv. \emph{pre-kvantování})
          \footnote{tj. "globální přístup" ke geometrickému kvantování, 
                     eliminuje také "přebytečné" orbity (viz. \emph{podmínka itegrality}).}
 \item redukci obstará \emph{metoda polarizací}
\end{itemize}    
(v protikladu s "klasickou částí" metody, budeme tyto dvě konstrukce nazývat 
\emph{"kvantová část"} metody orbit).\medskip

          Hilbertovy prostory ireducibilních reprezentací budou tedy tvořeny
          speciálními podtřídami hladkých řezů v jednotlivých line-bundlech.
 
          Celkem se získájí, pokud ne všechny, tak alespoň široká třída
          neekvivalentních ireducibilních reprezentací $\mathfrak{g}$. 



 
%  K   A   P   I   T   O   L   A       2 
    
 


      

 \chapter{Metoda orbit}  % Teorie
          
          Technicky je metoda orbit elegantním skloubením výsledků z alespoň 3
          odvětví moderní diferenciální geometrie (významných pro fyziku), 
          totiž: Lieových grup a algeber, symplektické geometrie, 
          teorie komplexních line-bundlů s konexí.\bigskip



V této části si naznačíme: 
\begin{itemize}

  \item jakým způsobem se konstruují orbity koadjungované akce  a symplektická struktura na nich
  \item  některé poznatky ze symplektické geometrie a jejich důsledky pro metodu orbit
\end{itemize}
\begin{flushright}
    \emph{("klasická část" metody orbit)}
\end{flushright}
\bigskip

\begin{itemize}
  \item  globální "pre-kvantování" pomocí komplexních line-bundlů s konexí
  \item  poznámku o metodě polarizací
\end{itemize} 

\begin{flushright}
    \emph{("kvantová část" metody orbit)}
\end{flushright}
           
    


                          
     \section{Konstrukce orbit}

   %  A d j u n g o v a n a       a k c e

    {\bf $\bullet$ Adjungovaná akce Lieovy grupy} \medskip

        Adjungovaná akce Lieovy grupy $G$ je akce grupy $G$ na své Lieově algebře, t.j.
        homomorfismus 
           $$ Ad:G \ \rightarrow \ \rm{GL}(\mathfrak{g})$$
 
          Nejprve si ukážeme obecnou (abstraktní) definici Lieovy algebry a 
          adjungované akce na ní. V připadě, že máme grupu realizovánu maticemi, stavájí se 
          tyto objekty ještě přirozenější jak uvidíme poté.\medskip

          Nechť je dána Lieova grupa $G$, potom každý prvek $g$ definuje hladký
          automorfismus $G$ předpisem
   \begin{displaymath}
       a_g :  G \rightarrow G \ , \quad a_g(h):=ghg^{-1}  \ \forall h \in G \ , 
   \end{displaymath}
  tzv. vnitřní automorfismus.

          Libovolný vnitřní automorfismus má jednotku grupy jako pevný bod, 
          tedy derivace v jednotce je lineární zobrazení tečného prostoru 
          v jednotce na sebe. 

          Toto můžeme udělat pro každý prvek grupy a dostáváme tak homomorfismus
\begin{displaymath}
   Ad: \ G \ \rightarrow \ {\rm{GL}}(T_e G) \ , \quad Ad(g):=d(a_g)(e) \ ,
\end{displaymath} 

          tzv. \emph{adjungovanou akci} (=reprezentaci).

          Zvolíme-li pevný tečný vektor $Y$ získáme  zobrazení z $G$ do $T_eG$
          předpisem 
\begin{displaymath}
   g \ \mapsto \ Ad(g)Y    
\end{displaymath}
          (obraz tohoto zobrazení tvoří orbitu adjungované akce obsahující Y).

          Toto zobrazení je opět hladké a můžeme tedy vzít jeho derivaci v jednotce,
          dostáváme tak lineární zobrazení

\begin{displaymath}
  adY : T_eG \rightarrow T_eG  \ ,\quad  adY:=d(Ad(g)Y)(e) 
\end{displaymath}

          Pro každé $X$ budeme značit obraz $$(adY)X=:[X,Y].$$

          Vektorový prostor $T_eG$ obohacený o operaci $[X,Y]$ budeme nazývat
          Lieovou algebrou přislušnou k grupě $G$ a značit ji $\mathfrak{g}$.
 
          Tak máme libovolné (konečněrozměrné) Lieově grupě přirozeně přiřazenu
          Lieovu algebru a adjungovanou reprezentaci na ní. \medskip

          Sneseme-li se z výšin obecnosti na případy maticových realizací 
          (ty budeme mít dále na mysli), potom výše zavedené objekty dostávají
          ještě názornější tvar. 
    Prvky grupy i algebry jsou matice $n \times n$ a máme potom 
\begin{eqnarray*}
              [X,Y]  & = &  XY-YX  \\
            Ad(g)X   & = &  gXg^{-1}                          
\end{eqnarray*}
s maticovým násobením.\bigskip


    %  K o a d j u n g o v a n a     a k c e


  {\bf $\bullet$ \quad Koadjungovaná reprezentace $Ad^*(g)$ } \bigskip

            Obecná metoda orbit staví na \emph{orbitách koadjungované akce} (reprezenatce).
          Tato akce Lieovy grupy $G$ na duálním prostoru 
          $\mathfrak{g}*$ se získá z akce adjungované
          vztahem:
          $$Ad^*(g):= (Ad(g^{-1}))^* \quad , $$
          kde pravá strana značí algebraicky sdružený operátor k $Ad(g)$, to jest
    
$$ \forall \varphi \in \mathfrak{g}^* 
   \qquad Ad^*(g)\varphi := \varphi \circ Ad(g^{-1}) \ .$$

 Jedná se tak také o levou lineární akci a tedy reprezentaci.\bigskip
 
{\bf $\bullet$ \quad Orbity a indukovaná vektorová pole } \medskip

         Na orbitách ${\cal O}$ působí grupa $G$ z definice tranzitivně a je 
         jejich symetrií.                  
         Každá jednoparametrická podgrupa generovaná vektorem
         $X \in \mathfrak{g}$

\begin{displaymath}
     u_X(t) : =  {\rm{exp}}(-tX)    
\end{displaymath}
         působí tedy jako \emph{tok} na jednotlivých orbitách.  

         Každému vektoru $X$ z Lieovy algebry $\mathfrak{g}$, je tak lineárně 
         přiřazeno hladké vektorové pole na orbitě  
 \begin{displaymath}
   \forall X \in \mathfrak{g} \ , \quad 
   X \ \mapsto \ \frac{d}{dt} \bigl( Ad^*({\rm{exp}}(-tX))\varphi_0 \bigr)|_{t=0} 
   \in  T_{\varphi_0}{\cal O} \  , \quad 
   \forall \varphi_0 \in {\cal O} \subset \mathfrak{g}^* \ .
 \end{displaymath}   
         Nazývá se \emph{indukované vektorové pole} generované $X$ 
         a budeme je značit $\xi_X$. Platí významná {\bf věta:} 
 \begin{equation}
   [\xi_X,\xi_Y] \ = \ \xi_{[X,Y]}   \quad ,
 \end{equation}
        že indukovaná vektorová pole komutují stejně jako jejich generátory, tj. 
        že zobrazení je homomorfismem Lieových algeber.
            
        (Pozn. Znaménko minus v exponenciele je velice podstatné. Např. 
               v právě vyslovené větě zajišťuje, že zobrazení je opravdu
               homomorfismem Lieových algeber a nikoliv pouze anti-homomorfismem!
               Jeho využití uvidíme i v "lemmatu klasické části".) 


  %     S y m p l e k t i c k a   f o r m a
 

\bigskip
{\bf $\bullet$ \quad Symplektická 2-forma na orbitách koadjungované akce } \medskip

         Práce na orbitách v duálním prostoru umožňuje přirozeně zkonstruovat  
         bi-lineární, antisymetrickou 2-formu (diferenciální 2-formu) $\omega$. 
         
         Konstrukce probíhá nejdříve na indukovaných vektorových polích.
         V každém bodě $\varphi$ orbity 

\begin{equation}
   \omega(\varphi)(\xi_X,\xi_Y) \ : \ = \ - \ \langle \varphi,[X,Y] \rangle \ =
   \  - \ \varphi([X,Y])  \qquad  
   \forall \varphi \in {\cal O} \subset \mathfrak{g}^* \ .
\end{equation} 
       Každému vektoru $X$ z $\mathfrak{g}$ lze také jednoznačně přiřadit hladkou funkci
       $\lambda_X$ na orbitě
\begin{equation}
    \lambda_X(\varphi) \ : \ = \  \langle \varphi, X \rangle \ = \ 
    \varphi(X)  \quad  \forall \varphi \in {\cal O} \ . 
\end{equation}
(lineární funkcionál na $\mathfrak{g}^*$ zúžený na ${\cal O}$ )

           Z těchto dvou definic můžeme psát 
\begin{equation}
  \omega(\xi_X,\xi_Y) \ = \ - \ \lambda_{[X,Y]}  \qquad .
\end{equation}
\bigskip
{\bf Lemma ("klasické části" metody orbit)}  
    \begin{displaymath}
            \xi_X \lambda_Y \ = \ \lambda_{[X,Y]}     \qquad  \forall X,Y \in \mathfrak{g} \ 
    \end{displaymath}
  
  \emph{Důkaz:}
  \begin{eqnarray*}
    \forall \varphi \in {\cal O}: \qquad (\xi_X \lambda_Y)(\varphi)= \frac{d}{dt}\bigl
    (\lambda_Y(Ad^*(u_X(t))\varphi)\bigr)|_{t=0}=\\
   = \frac{d}{dt} \langle Ad^*(u_X(t))\varphi, Y \rangle |_{t=0} =
     \frac{d}{dt} \langle \varphi, Ad(u_X(- \ t))Y \rangle |_{t=0}=\\
   =  \frac{d}{dt} \langle \varphi, Ad({\rm{exp}}(- \ ( - \ t)X))Y \rangle |_{t=0}=
   \langle \varphi, \frac{d}{dt} \bigl(Ad({\rm{exp}}(tX))Y \bigr)|_{t=0} \rangle =\\
   =  \langle \varphi, [X,Y] \rangle = \ \lambda_{[X,Y]}(\varphi) \\
   \Box 
  \end{eqnarray*}
         Vektory indukovaných vektorových polí v každém 
         bodě $\varphi$ orbity ${\cal O}$ generují celý tečný prostor 
         $T_{\varphi}{\cal O}$ v tomto bodě  (a pouze ten), je 
         proto možné rozšířit $\omega$ a její vlastnosti i na ostatní vektorová 
         pole na ${\cal O}$ (a pouze na ta).  
\newtheorem{uzavrenost}{Věta}
  \begin{uzavrenost}
     Zkonstruovaná diferenciální 2-forma $\omega$ je uzavřená, tj.
      \begin{displaymath}
            d\omega \ = \ 0   \quad.
      \end{displaymath}
  \end{uzavrenost}

Důkaz:
\begin{enumerate}
 \item \emph{Využijeme vzorce pro derivaci dif.2-formy, vztahu (2.4) a 
            lemmatu "klasické části": }
       \begin{eqnarray*}
         d\omega(\xi_X,\xi_Y,\xi_Z)&=&
         \xi_X\omega(\xi_Y,\xi_Z)-\xi_Y\omega(\xi_X,\xi_Z)+\xi_Z\omega(\xi_X,\xi_Y) \ - \\
         & & - \ \omega([\xi_X,\xi_Y],\xi_Z) + \omega([\xi_X,\xi_Z],\xi_Y) 
         - \omega([\xi_Y,\xi_Z],\xi_X)\\
         &=&  \xi_X\omega(\xi_Y,\xi_Z)-\xi_Y\omega(\xi_X,\xi_Z)+\xi_Z\omega(\xi_X,\xi_Y) \ - \\
         & & - \ \omega(\xi_{[X,Y]},\xi_Z) + \omega(\xi_{[X,Z]},\xi_Y) 
             - \omega(\xi_{[Y,Z]},\xi_X)\\
         &=& - \ \xi_X\lambda_{[Y,Z]}+\xi_Y\lambda_{[X,Z]}-\xi_Z\lambda_{[X,Y]} \ + \\
         & & + \ \omega(\xi_X,\xi_{[Y,Z]}) - \omega(\xi_Y,\xi_{[X,Z]}) 
             + \omega(\xi_Z,\xi_{[X,Y]})\\
         &=& - \ \lambda_{[X,[Y,Z]]}+\lambda_{[Y,[X,Z]]}-\lambda_{[Z,[X,Y]]} \ - \\
         & & - \ \lambda_{[X,[Y,Z]]} + \lambda_{[Y,[X,Z]]} 
             - \lambda_{[Z,[X,Y]]}\\
         &=& - \ 2\bigl(  \lambda_{[X,[Y,Z]]}-\lambda_{[Y,[X,Z]]}+\lambda_{[Z,[X,Y]]}\bigr) \ 
           \end{eqnarray*}
 \item \emph{Z definice (2.3) a Jacobiho identity na $\mathfrak{g}$ platí v každém bodě 
            $\varphi$ z $\mathfrak{g}^*$:}
      \begin{eqnarray*}
       & & \bigl(\lambda_{[X,[Y,Z]]}-\lambda_{[Y,[X,Z]]}+\lambda_{[Z,[X,Y]]}\bigr)(\varphi)= \\
       &=&  \langle \varphi,[X,[Y,Z]]\rangle-\langle \varphi,[Y,[X,Z]]\rangle+
         \langle \varphi,[Z,[X,Y]]\rangle= \\
       &=& \langle \varphi \ , \ [X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]+[Z,[X,Y]]\rangle \\
       &=& \langle \varphi \ , \ \vec{0} \rangle  \\
       &=& 0
      \end{eqnarray*}
   \item \emph{Celkem}
     \begin{displaymath}
       \forall \varphi \in \mathfrak{g}^* : \ d\omega(\varphi)(\xi_X,\xi_Y,\xi_Z) \ = \ 0
       \quad \qquad  \Box  
    \end{displaymath}
 \end{enumerate}     
          Na závěr si vyslovíme větu vyjadřující vztah mezi $\lambda_X$ a $\xi_X$
\newtheorem{lambdaxi}[uzavrenost]{Věta}
  \begin{lambdaxi}
      \begin{displaymath}
            \omega(\xi_X, \ ) \ = \ d\lambda_X   \quad.
      \end{displaymath}
  \end{lambdaxi}
  Důkaz:

  \emph{Opět dokážeme pomocí indukovaných polí $\xi_Y$ a lemmatu :}
 \begin{displaymath}
    \forall \xi_Y : \ d\lambda_X(\xi_Y) = \xi_Y\lambda_X = \lambda_{[Y,X]} =
    -\omega(\xi_Y,\xi_X)= \omega(\xi_X,\xi_Y) \quad \Box
 \end{displaymath}
  \bigskip 




      %H a m i l t o n o v s k a   s t r u k t u r a
   
          \section{Hamiltonovská struktura na varietě}

          Nechť je dána \emph{symplektická varieta}("fázový prostor"), 
          to jest dvojice $(M,\omega)$, kde $\omega$ je \emph{nedegenerovaná, uzavřená}
          diferenciální 2-forma na varietě $M$. Potom je ${\cal X}$,
          prostor hladkých vektorových polí na $M$, izomorfní s prostorem 
          diferenciálních 1-forem na $M$. Izomorfismus má kanonický tvar:

    \begin{equation}
          \xi \ \longmapsto \ \omega(\xi, \ ) \qquad \forall \xi \in {\cal X} \ . 
    \end{equation} 

          Izomorfie plyne z nedegenerovanosti $\omega$ (jádro zobrazení je nulové) a 
          homogenity zobrazení vůči násobení libovolnou hladkou funkcí na $M$: 
	
   \begin{displaymath}
     f \xi \ \longmapsto \ \omega(f\xi, \ )= f\omega(\xi, \ )
     \qquad \forall \xi \in {\cal X} , \ \forall f \in {\cal A} \quad .
   \end{displaymath}

(Homomorfismus modulů nad algebrou ${\cal A}$ hladkých funkcí na $M$.) \bigskip

        Tento izomorfismus nám umožňuje přirozeně zkonstruovat další homomorfismus
        (zatím jenom vektorových prostorů), tzv. "kanonický" homomorfismus $k$,
        z prostoru hladkých funkcí ${\cal A}$ do prostoru vektorových polí ${\cal X}$: 

\begin{equation}
    k:f \mapsto \xi_f  
    \quad \textsl{via} \quad f \mapsto df \leftrightarrow \xi_f \qquad
    \forall f \in {\cal A} \quad ,
  \end{equation}
tedy
 \begin{equation}
     df \ =  \ \omega(\xi_f, \ ) \qquad \forall f \in {\cal A} \quad .
 \end{equation}
        Tak máme každé hladké funkci $f$ ("hamiltoniánu") přiřazeno vektorové
        pole $\xi_f$, tzv. \emph{Hamiltonovské vektorové pole} 
        ("kanonické pohybové rovnice"="generátor 1-parametrické grupy kanonických
        transformací"). Prostor Hamiltonovských vektorových polí budeme značit
        ${\cal X}_H$. Z definice $$ {\cal X}_H \ := \ k({\cal A} ) \ .$$ \medskip

        Konečně, kanonický homomorfismus nám umožňuje zadefinovat \emph{Poissonovu závorku}
        na prostoru hladkých funkcí ${\cal A}$:

 \begin{equation}
    \{ f,g \} \ := \ - \ \omega(\xi_f,\xi_g)  \qquad \forall f,g \in {\cal A}  \quad. 
 \end{equation} 
  
Obecně na libovolné varietě platí 
  \begin{displaymath}
      \xi f \ = \ df(\xi)    \qquad \forall \xi \in {\cal X}, \ \forall f \in {\cal A} \quad,
  \end{displaymath}
proto máme ekvivalentně
\begin{equation}
   \{f, g \} \ = \ \xi_f g \ = \ dg(\xi_f)  \qquad.
\end{equation}
         Laskavý čtenář nechť ověří, že takto zavedená operace Poissonovy závorky
         splňuje axiomy operace Lieova závorka (bilinearita, anti-symetrie, 
         Jacobiho identita). 

         Vektorový prostor ${\cal A}$ tak získal strukturu nekonečněrozměrné
         Lieovy algebry $({\cal A}, \{ , \ \})$.

         Zároveň máme po ruce i jinou nekonečněrozměrnou Lieovu algebru: 
         Lieovu algebru   $({\cal X},[, \ ])$  hladkých vektorových polí
         na $M$ s komutátorem.\medskip

         Jak spolu tyto dvě Lieovy algebry souvisí?\bigskip

 \newtheorem{fund}{Věta}
  \begin{fund}[fundamentální věta Hamiltonovských systémů]
     "Kanonický" homomorfismus $k:({\cal A}, \{ , \ \}) \rightarrow ({\cal X}, [, \ ])$ 
     je homomorfismem Lieových algeber, tj. platí
      \begin{displaymath}
            \ [\xi_f,\xi_g] \ = \ \xi_{ \{ f, g \} }    \quad.
      \end{displaymath}
  \end{fund}
  {\bf Důkaz:}
 
         Ze vzorce pro vnější derivaci diferenciální 2-formy:
  \begin{eqnarray*}
  d\omega(\xi_f,\xi_g,\eta) \  =  \ \xi_f\omega(\xi_g,\eta) \ - \ 
   \xi_g\omega(\xi_f,\eta) \ + \ \eta\omega(\xi_f, \xi_g) \ - \\
    - \ \omega([\xi_f,\xi_g],\eta) \ + \ \omega([\xi_f,\eta],\xi_g) \
    - \ \omega([\xi_g,\eta],\xi_f) \ = \\
     =  \ \eta \{ f,g \} \ - \ \omega([\xi_f,\xi_g], \eta) \ = \\
     = \ d \{ f,g \} (\eta) \ - \ \omega([\xi_f,\xi_g], \eta) \ 
 \end{eqnarray*}
  
   a s využitím $d\omega=0$ dostáváme
 \begin{eqnarray*}
   d \{ f,g \} (\eta) \ = \ \omega([\xi_f,\xi_g], \eta) \quad \forall \eta \in {\cal X}
  \ \stackrel{\textrm{nedegen.}}{\Longleftrightarrow} \  
   \xi_{ \{ f, g \} } \ = \ [\xi_f,\xi_g] \quad \\ 
  \Box \\
 \end{eqnarray*}
         Tato fundamentální rovnost nám ukazuje, že Hamiltonovská vektorová
         pole tvoří podalgebru hladkých vektorových polí 
         $$({\cal X}_H, [,]) \subset\subset ({\cal X}, [,]) \quad .$$  
         Podalgebra $({\cal X}_H, [,])$ jistě nesplývá s algebrou $({\cal X}, [,])$, 
         neboť pomocí vzorce Henri Cartana:       
         $$\mathfrak{L}_\xi \ = i_{\xi}\circ d \ + \ d \circ i_{\xi}$$ 
         dostáváme nutnou podmínku na Hamiltonovská vektorová pole      
  \begin{displaymath}
     \mathfrak{L}_{\xi_f} \omega \ = \ 0 \ .
  \end{displaymath} 
\begin{flushright}
  \emph{(Liouvilleův teorém)}
\end{flushright}

\medskip



          Nadruhou stranu je kanonický homomorfismus "téměř isomorfismem" 
          $$({\cal A}, \{ , \ \}) \hookrightarrow ({\cal X}_H, [, \ ]) \ ,$$
          neboť pro souvislé variety tvoří jádro pouze konstantní funkce, 
          tedy každé Hamiltonovské pole je určeno jednoznačně hladkou funkcí až 
          na přičtení/odečtení konstantní funkce ("energie určena až na konstantu").
\bigskip

  % v y u z i t i   H a m i l t o n a     

{\bf $\bullet$  Využití pro metodu orbit}\medskip

        Vidíme, jakým způsobem zavést Poissonovu závorku na orbitách,
        aby "kanonický" homomorfismus byl homomorfismem Lieových algeber.\medskip 

        Věta 2 minulé části tedy znamená, že indukovaná vektorová pole 
        $\xi_X$ jsou vlastně Hamiltonovská pole odpovídající $\lambda_X$, tj.
\begin{equation}
    \xi_X \ = \ \xi_{\lambda_X} \ = \ k(\lambda_X) \quad .
\end{equation}

   
        Zároveň lemma "klasické části" ukázalo, že zobrazení
            $$ X \ \mapsto \ \lambda_X $$
        je homomorfismem Lieových algeber $\mathfrak{g}\rightarrow ({\cal A},\{,\}) $, neboť
\begin{equation}
     \{\lambda_X,\lambda_Y\} \ = \ \xi_X\lambda_Y \ = \ \lambda_{[X,Y]} \ . 
\end{equation}
        Na každé orbitě ${\cal O}$ tak dostáváme dokonalé vnoření
           \begin{equation}  
              \mathfrak{g}\hookrightarrow ({\cal A},\{ , \})
              \hookrightarrow({\cal X}_H,[ , ]) \ , \quad
              X \mapsto \lambda_X \mapsto \xi_X \ \qquad               
           \end{equation}
        což je hlavním výsledkem "klasické části" metody orbit.
\bigskip
 \bigskip


  % P R E   K V A N T O V A N I

    \section{"Pre-kvantování": Komplexní line-bundly s konexí a reprezentace}


   %   G e o m e t r i c k e   k v a n t o v a n i

 {\bf $\bullet$  Geometrické kvantování}\bigskip
    
         V úvodu jsme si řekli, že hlavní přínos fyziky pro metodu orbit byl nápad 
         "geometrického kvantování". 

         Na symplektických varietách $(M,\omega)$ totiž uzavřenost $\omega$ obecně 
         zaručuje \emph{lokální} existenci "primitivní" 1-formy $\alpha_U$ k $\omega|_U$.
         Zvolíme-li pevně takovéto okolí $U$ s $\alpha_U$, můžeme na hladkých,
         komplexních funkcích $\psi_U:U \rightarrow \mathbb{C}$ ("vlnových funkcích"),
         definovat pro každé hladké vektorové pole $\xi \in {\cal X}$, diferenciální
         operátor "kovariantní derivace na okolí $U$":

\begin{equation} \label{213}
   \nabla_{\xi} \ \psi_U \ : \ = \ (\xi + i\alpha_U(\xi)) \ \psi_U   \quad .
\end{equation}    

         Vynikající nápad "geometrického kvantování" je, že omezíme-li se na 
         \emph{Hamiltonovská} vektorová pole $\xi_f \in {\cal X}_H$, 
         potom můžeme zkonstruovat operátory
\begin{equation}\label{214}
   \rho(f) \ : \ = \ \nabla_{\xi_f} \ + \ if  \ , \quad f\in {\cal A} \quad , 
\end{equation}
 pro které platí základní {\bf{věta "geometrického kvantování"}}: 

   \begin{equation}
      [\rho(f),\rho(g)] \ = \ \rho( \{ f,g \} ) \quad .
   \end{equation}
       
\emph{Důkaz:}
 \begin{eqnarray*}
  [\rho(f),\rho(g)] & = & [\nabla_{\xi_f},\nabla_{\xi_g}] + [\nabla_{\xi_f},ig]+[if,\nabla_{\xi_g}] \ , \\
  {} [\nabla_{\xi_f},\nabla_{\xi_g}]  & = & [\xi_f,\xi_g]+i\alpha([\xi_f,\xi_g])
     +id\alpha(\xi_f,\xi_g) \\
       & = &  \nabla_{[\xi_f,\xi_g]} \ + \ i\omega(\xi_f,\xi_g)\\
       & = &  \nabla_{\xi_{\{f,g\}}} \ - \ i\{f,g\} \ , \\
 {} [\nabla_{\xi_f},ig] &  = &  i \xi_f g \ = \ i\{f,g\} \ , \\
 {} [if,\nabla_{\xi_g}] &  = &  -i\xi_g f \ = \ -i\{g,f\} \ = i\{f,g\} \ ,
\end{eqnarray*}
 \emph{celkem,}
\begin{eqnarray*}
  \Rightarrow \quad [\rho(f),\rho(g)] & = & \nabla_{\xi_{\{f,g\}}} \ - \ i\{f,g\} \ + \
   2i\{f,g\} \\
   & = & \nabla_{\xi_{\{f,g\}}} \ + \ i\{f,g\} \\
   & = & \rho(\{f,g\}) \qquad \Box 
\end{eqnarray*}
         Zvolíme-li za symplektickou varietu některou z orbit a na ní 
         příslušné okolí $U$ dostáváme okamžitě lineární reprezentaci 
         $\mathfrak{g}$. Dostává se tak ohromná spousta reprezentací,
neboť:
  \begin{enumerate}
    \item  "Co orbita, to alespoň jedna reprezentace."
    \item  Na jednotlivých orbitách, při zvoleném $U$ je předpis (\ref{213}) pro 
           "lokální kovariantní derivaci" vysoce nejednoznačný (jsou možné všechny
           kohomologicky ekvivalentní 1-formy $\alpha_U$, fyzikálně řečeno: 
           zůstává volnost kalibrace "vektorového potenciálu", 
           jednoduše řečeno: je možné přičíst libovolnou \emph{exaktní} 1-formu k $\alpha_U$).  
    \item  Pro topologicky netriviální orbity (2.deRhamova třída kohomologie nenulová),
           navíc ani žádné "\emph{globální} kovariantní derivace" "vlnových funkcí" 
           neexistují (neexistují globálně definované 1-formy $\alpha$, pro které 
           $d\alpha=\omega$.) 
           Existují pouze různá pokrytí, kde na jednotlivých okolích $U$ 
           existují "lokální kovariantní derivace".
           Na překryvu jednotlivých okolí se však dostává několik různých předpisů.       
  \end{enumerate}    
           
           "Geometrické kvantování" je tedy pozoruhodné pozorování, které je globální na 
           $\mathbb{R}^{2n}$, ale pouze \emph{lokální} na obecné symplektické varietě
           $(M,\omega)$.\medskip
 
           Nadruhou stranu, nastíněná geometrická situace: varieta, na ní uzavřená 2-forma,
          k ní "lokální kovariantní derivace" (\ref{213}) působící na 
          "lokálních vlnových funkcích",
          a "mnohoznačnost" volby $\alpha$, je nejpřirozenějším okamžikem pro zavedení 
          \emph{komplexního line-bundlu s konexí}.\medskip

          \emph{Globální} zobecnění "geometrického kvantování" tvůrci metody orbit provedli
          právě pomocí formulace v jazyce line-bundlů s konexí. Nazývá se 
          \emph{pre-kvantování}.

\bigskip 

            
           


           
       {\bf $\bullet$  pre-kvantování: komplexní line-bundly s konexí}\bigskip

          Komplexní line-bundle, neboli vektorový bundle nad varietou $M$ 
          s vláknem $\mathbb{C}$, umožnuje jako každý vektorový bundle 
          zobecnit pojem hladké vektorové funkce na varietě $M$ (zde tedy 
          komplexní funkce), pomocí pojmu hladký \emph{řez} v line-bundlu.

          Zároveň také umožňuje zavést derivaci těchto řezů, tzv. 
          \emph{kovariantní derivaci}, pomocí \emph{konexe}.

          Označíme-li $\Gamma$ prostor všech hladkých řezů v line-bundlu, 
          potom konexe $\nabla$ je zobrazení
   $$ \nabla \ : \ {\cal X} \times \Gamma \ \rightarrow \ \Gamma \  , $$   
         pro které platí:
     
\begin{eqnarray*}
 &(i)& \qquad \quad  \nabla_{\xi}(f\sigma) = f\nabla_{\xi}\sigma + (\xi f) \sigma \\
 &(ii)& \qquad \quad \nabla_{f\xi+\eta}\sigma = f\nabla_{\xi}\sigma + \nabla_{\eta}\sigma\\
 &(iii)& \qquad \quad \nabla_{\xi}(\sigma_1 + \sigma_2) = \nabla_{\xi}\sigma_1+\nabla_{\xi} \sigma_2
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
  \forall f \in {\cal A}, \ \forall \xi,\eta \in {\cal X}, \ \forall \sigma \in \Gamma .
\end{displaymath}
        Každému vektorovému poli $\xi$ je tak možno přiřadit lineární diferenciální
        operátor \emph{kovariantní derivace} $\nabla_{\xi}$ na řezech v line-bundlu
 $$ \nabla_{\xi}: \ \Gamma \rightarrow \Gamma \quad .$$ 
        Ke každé konexi je možno definovat \emph{křivost} ${\cal R}$ jako:
 $$ {\cal R}(\xi,\eta) \ := \ [\nabla_{\xi},\nabla_{\eta}] \ - \ \nabla_{[\xi,\eta]} \quad .$$
 
        Práce s line-bundly probíhá pomocí \emph{trivializace}, tj. volby  
        $M$,  při kterém má kovariantní derivace na jednotlivých okolích $U_k$ obecně tvar
\begin{equation} \label{216}
 \nabla_{\xi} \ = \ \xi + i\alpha_k(\xi) \quad ,
\end{equation} 
        pro jistou lokální \emph{1-formu konexe} definovanou na $U_k$.
        
        Je-li pokrytí konečné, potom hladkému řezu $\sigma$ odpovídá n-tice 
$$ \sigma \ = \ (\psi_1,\ldots,\psi_n) $$
        hladkých komplexních funkcí, definovaných na příslušných okolích.

        "Slepení" jednotlivých lokálních popisů do bundlu obstarávají 
        \emph{přechodové funkce} $c_{ik}:U_{ik}\rightarrow \mathbb{C}^*$
        definované na průnicích  $U_{ik}=U_i \cap U_k $, tak že 
        komplexní funkce lokálně vyjadřující stejný řez jsou 
        na průniku svázány rovností
  $$ \psi_i|_{U_{ik}} \ = \ c_{ik}\psi_k|_{U_{ik}} \ .$$
        Z definice bundlu, musí přechodové funkce 
        splňovat \emph{podmínku konzistentnosti} (kocyklové pravidlo)
\begin{equation} \label{217}  
   c_{ij} c_{jk} = c_{ik} \quad . 
\end{equation}
        Zároveň aby i kovariantní derivace měla globální smysl,  
        jsou spolu 1-formy konexe na průniku svázany vztahem
 \begin{equation} \label{218}
 i\alpha_i - i\alpha_j \ = \ c_{ij}^{-1}dc_{ij} \quad .
\end{equation}  
       
        Použijem-li lokální vyjádření kovariantní derivace (\ref{216}) pro výpočet 
        křivosti dostaneme pomocí bezsouřadnicového vzorce pro derivaci 
        1-formy 
        $${\cal R}(\xi,\eta) \ = \ id\alpha_k \ = \ i\omega  \ ,$$
        pro jakousi uzavřenou 2-formu $\omega$ na $U_k$.

        Jsou-li splněny podmínky (\ref{217}) a (\ref{218}) (tedy máme-li 
        opravdu line-bundle s konexí), potom existuje globálně
        definovaná uzavřená 2-forma $\omega$, taková, že na každém
        okolí $U_k$ platí 
        $$ \omega|_{U_k} \ = \ d\alpha_k \quad .$$

        Nazývá se \emph{2-forma křivosti line-bundlu s konexí}
        a platí tedy $$  {\cal R} \ = \ i\omega \ .$$

        Pro metodu orbit je zásadní přesně obrácená otázka: 
       
      \emph{"Kdy, nad danou varietou $M$, se zadanou uzavřenou 2-formou $\omega$,
            existuje line-bundle s konexí, jehož křivost je právě ${\cal R} = i\omega $ ?"}
      \medskip

      Pokud totiž alespoň jeden takový line-bundle nad symplektickou 
      varietou $(M,\omega)$ existuje, potom lze okamžitě zobecnit ("slepit", globalizovat)
      lokální konstrukci "geometrického kvantování" zavedením operátorů $\rho(f)$,
      které mají formálně stejný tvar (\ref{214}). Působí však na hladkých řezech
       \begin{equation} \label{219}
           \rho(f)\  \sigma : \ = \ \nabla_{\xi_f}  \sigma  \ + \ if\sigma  \qquad , \
           \sigma \in \Gamma \ .
       \end{equation}

       Mluví se potom o \emph{pre-kvantování} symplektické variety $(M,\omega)$.\medskip

       Odpověď na to, kdy je možno symplektickou varietu pre-kvantovat dává
       tedy Weilovo lemma:  
         

        
 
 
\newtheorem{weil}{Lemma}
  \begin{weil}[Weil]
         Nechť je dána uzavřená reálná 2-forma $\omega$ na $M$. 

         Potom třída line-bundlů s konexí, jejichž křivost je ${\cal R}=i\omega$, 
         je neprázdná tehdy a jen tehdy je-li ${\cal R}$ \emph{integrální}, tj.
         je-li integrál 
 \begin{displaymath}
     \frac{1}{2 \pi i } \int_{\sigma} {\cal R} \ = \ n \in \mathbb{Z}  
 \end{displaymath}
         z ${\cal R}$ přes všechny nezávislé 2-cykly ${\sigma}$ \emph{celočíselný}.

         (Když periody $\omega$ jsou celočíselné násobky $2\pi$.)
   \end{weil}
         Toto kritérium existence line-bundlu  s konexí budeme dále
         nazývat \emph{podmínkou integrality}. 

         Důkaz, fyzikální aplikace a zobecnění může čtenář nalézt např. v \cite{al},
         důkaz samozřejmě také v \cite{ko}.\medskip

         V případě existence, zůstává otázka kolik nad $(M,\omega)$ existuje
         neekvivalentních line-bundlů s konexí se stejnou křivostí $i\omega$. 
  
         Obecná odpověď není jednoduchá, přesto je zpracována v \cite{ko}
  jako původní výsledek.

         Pro jednoduše souvislé variety však platí 
\newtheorem{unicity}[weil]{Věta}
  \begin{unicity}
      Nechť je $M$ jednoduše souvislá a $\omega$ integrální, potom
      nad $(M,\omega)$ existuje právě jeden odpovídající line-bundle
      s konexí, určený jednoznačně až na ekvivalenci line-bundlů s konexí.
  \end{unicity}

      Pre-kvantování je tedy "globálním" zobecněním  geometrického kvantování,
      zároveň ale eliminuje některé orbity (fázové prostory), neboť, jsou-li 
      topologicky netriviální, tak jejich symplektické 2-formy většinou nebudou
      splňovat podmínku integrality, mluví se potom o \emph{topologickém kvantování}.

       
 
%     P o l a r i z a c e

\section{Redukce reprezentace: metoda polarizací}
    
      Pro každou orbitu $({\cal O}, \omega)$, která "přežije" pre-kvantování,
      tedy dostáváme velice dobře definovanou reprezentaci 
     $\rho$ Lieovy algebry $\mathfrak{g}$:
       \begin{equation}
          \rho(X)\  \sigma \ = \ (\nabla_{\xi_X}  +  i\lambda_X) \ \sigma \ , \quad
          \forall X \in \mathfrak{g}   
       \end{equation}
      na prostoru řezů $\sigma$ v line-bundlu s konexí nad $({\cal O}, \omega)$.

      Tyto reprezentace však \emph{nejsou ireducibilní}. Jakým způsobem je zredukovat
      napovídá tzv. \emph{metoda polarizací}.\medskip
      
      Redukce vznikne  nalezením vhodného invariantního podprostoru hladkých
      komplexních funkcí (při pevně zvolené trivializaci a okolí $U_k$). 
      Tyto funkce tvoří průnik jader
      (jsou konstantní podél integrálních křivek) prvků \emph{polarizace}
      $\cal P$, tj. konečné množiny vektorových polí na orbitě splňujících podmínky:
 \begin{itemize}
   \item $[\xi,\eta] \in {\cal P}$ pro všechna $\xi,\eta \in {\cal P}$ 
   (\emph{integrabilní distribuce})
   \item všechna $\xi \in {\cal P}$ jsou $G$-invariantní (při akci $Ad^*_g$)
   \item $\quad {\cal P} \subset \textrm{ker}\alpha_k, 
          \quad \textrm{kde} \ \ d\alpha_k=\omega|_{U_k}$ 
 \end{itemize} 



 



   
%       %      C:\Res5.tex

%            K   O   N  S   T   R   U   K   C   E    (3. k a p i t o l a)


 \chapter{Příklad: reprezentace ${\mathfrak su}(2)$ } % Aplikace
          
   
         V této kapitole budeme ilustrovat metodu orbit "v akci"
         při konstrukci ireducibilních reprezentací
         Lieovy algebry $\mathfrak{su}$(2)  a to tak, že všech
         neekvivalentních, neboť z každé třídy izomorfie dostaneme
         právě jednoho reprezentata. 
 
         Budeme sledovat návod popsaný v předcházející kapitole. 

   \section{SU(2) a její koadjungovaná reprezentace}

           {\bf $\bullet$ grupa SU(2)}\bigskip

           Pod grupou SU(2) myslíme 3-rozměrnou reálnou Lieovu grupu,
          která je realizována unitárními komplexními maticemi $2 \times 2$
          s determinantem rovným $+1$ ,
          to jest matic tvaru: \medskip
  \begin{eqnarray} \label{301}
  g \in SU(2): \quad  \quad            %SU(2)
  g = \left( \begin{array}{cc}
    a & -\overline{b} \\
    b & \overline{a} \\
  \end{array} \right)
  \quad ,\quad |a|^2+|b|^2=1
  \quad ,\quad (a,b) \in \mathbb{C}^2 
  \end{eqnarray}
(tzv."kanonická reprezentace SU(2)")
 
          Položíme-li $a = x^1+ix^2$ a $b = x^3+ix^4$, 
         kde $(x^1,x^2,x^3,x^4) \in \mathbb{R}^4$, dostáváme podmínku
         $(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2 = 1$ a vidíme tedy, 
         že nosná varieta  SU(2) je difeomorfní s 3-rozměrnou sférou 
         $\mathbb{S}^3$.
  
Jedná se tedy o grupu kompaktní, souvislou i jednoduše souvislou.\\         
Z algebraického hlediska jde o grupu poloprostou.\bigskip
        
Její význačná (nikoliv však normální) podgrupa je abelovská 
grupa U(1) matic tvaru:
\begin{eqnarray} \label{302}
  h \in U(1): \quad  \quad               % U(1) 
  h = \left( \begin{array}{cc}
    a & 0 \\
    0 & \overline{a} \\
  \end{array} \right)
  \quad ,\quad |a|^2=1
  \quad ,\quad a \in \mathbb{C} 
  \end{eqnarray}

  neboli,    
 \begin{displaymath}                       % h
  h = \left( \begin{array}{cc}
    e^{it} & 0 \\
    0 & e^{-it} \\
  \end{array} \right)
  \qquad ,\qquad t \in \mathbb{R} \ . 
  \end{displaymath}\smallskip
         
Jedná se tak o vnoření (a tedy i o věrnou 2-rozměrnou reducibilní unitární reprezentaci) multiplikativní grupy koplexních čísel s modulem jedna. Její nosná varieta je difeomorfní s kružnicí $\mathbb{S}^1$.

Celkem je U(1) 1-rozměrná ($\Rightarrow$ abelovská), kompaktní, souvislá
   Lieova grupa (nikoli však již jednoduše souvislá! $\equiv$ kružnice).\bigskip      
             

           {\bf $\bullet \mathfrak{su}$(2) } \bigskip      %su(2)
           
Lieova algebra příslušná k SU(2) je reálná 3-rozměrná a nazývá se $\mathfrak{su}(2) $. 
Stejně jako SU(2) je "kanonicky" reprezentovatelná komplexními maticemi $2 \times 2$ a to maticemi anti-hermitovskými s nulovou stopou ( $\mathbb{A}^*=-\mathbb{A}$ , $\textrm{Tr}\mathbb{A}$=0).
    
Množina anti-hermitovských matic $2 \times 2$ s nulovou stopou 
               tvoří reálný vektorový prostor a dokonce reálnou Lieovu algebru
               s Lieovou operací = komutátor.
               ( Ale pozor, jde opravdu pouze o reálný vektorový prostor. Vůči vynásobení  
               obecným komplexním číslem
               není množina uzavřená,\\
               např.: "i $\ast$ anti-hermit=hermit".)

               Dále budeme $\mathfrak{su}(2)$  s touto algebrou anti-hermitovských matic s
               nulovou stopou ztotožňovat.
               Jako báze algebry $\mathfrak{su}(2)$ se nejčastěji volí:
\begin{eqnarray} \label{303}                     %Pauliho matice
  J_1 = \frac{i}{2}\left( \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    1 & 0 \\
  \end{array} \right)
  \quad \quad 
  J_2 = \frac{i}{2}\left( \begin{array}{cc}
    0 & i \\
    -i & 0 \\
  \end{array} \right)
  \quad \quad 
  J_3 = \frac{i}{2}\left( \begin{array}{cc}
    1 & 0 \\
    0 & -1 \\
  \end{array} \right)
  \end{eqnarray}
 
\begin{flushright}
    $(\frac{i}{2} \ast Pauliho \ matice)$\\
 \end{flushright}  	
Jejich komutační relace jsou:
 \begin{eqnarray} \label{304}
   [J_1,J_2]=J_3  \qquad [J_2,J_3]=J_1 \qquad [J_3,J_1]=J_2
  \end{eqnarray}
           Jedná se tedy o reálnou 3-rozměrnou prostou Lieovu algebru, jejíž isomorfní
           realizace jsou (pod jinými názvy) velice známé. \footnote[1]{např. "vektorový
           součin" na 
           $\mathbb{R}^3: \vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3$ (a cyklicky). 
           Dále v Hamiltonovské mechanice na fázovém prostoru $\mathbb{R}^6$,
           3-rozměrný lineární obal "složek momentu hybnosti", tj. funkcí ("pozorovatelných") 
           $l_i:=\epsilon_{ijk} x_j p_k $  ( $l_1:=x_2p_3-x_3p_2$ a cykl.) s Poissonovou
           závorkou
           $\{ f , g \} := \sum_{i=1}^{3}(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial x_i})$, 
            má strukturu 3-dim Lieovy algebry s definujícími relacemi:
           $ \{ l_1 , l_2 \} = l_3 \ a \ cykl.$ 

           Stejně tak pro operátory "složek momentu hybnosti" v kvantové mechanice 
           jednoho kvanta žijícího v $\mathbb{R}^3$, tj. operátory $L_1,L_2,L_3$ nad
           ${\cal H}= L^2(\mathbb{R}^3,d^3x)$, platí komutační relace
           $ [iL_1 , iL_2] = iL_3 \ a \ cykl.$.

           Zde již můžeme mluvit o nekonečněrozměrné \emph{reprezentaci} $\mathfrak{su}(2)$ , 
           nikoli však \textsl{ireducibilní} neboť, jak známo ze základního kursu QM, 
           liše-dim. podprostory tzv."kulových funkcí" jsou invariantní vůči působení 
           $L_1,L_2$ a $L_3$,
           tedy je redukují. Po redukci(tj. zúžení operátorů na tyto podprostory) již dostáváme
           konečněrozměrné \emph{ireducibilní reprezentace} 
           a to pro každou lichou dimenzi.

           Otázkou tedy zůstává, zda-li existují ireducibilní reprezentace také na sudých 
           dimenzích a případně jak je zkonstruovat? Pro 2n=2 máme naši "kanonickou"
           reprezentaci, ale co dál? Je tenzorový součin dvou ireducibilních reprezentací
           ireducibilní? ($\Rightarrow$ přirozený důvod pro zavedení 
           ${\cal H} = \mathbb{C}^2 \otimes L^2(\mathbb{R}^3,d^3x)$? 
           $\Rightarrow$ sudé ireducibilní reprezentace?)}           
                   

            Obecný prvek $\mathfrak{su}(2)$ můžeme nyní vyjádřit pomocí 
            "souřadnic v $\mathbb{R}^3$":

\begin{displaymath}
  X \in \mathfrak{su}(2) \ : \qquad  X = xJ_1+yJ_2+zJ_3  \qquad (x,y,z) \in \mathbb{R}^3
\end{displaymath}
       tedy,

\begin{eqnarray} \label{305}
  X = \frac{i}{2}\left( \begin{array}{cc}      % X v souradnicich
                       z & x+iy \\
                       x-iy & -z \\
                        \end{array} \right) \qquad (x,y,z) \in \mathbb{R}^3
\end{eqnarray}                

             \smallskip

         Nyní zavedeme na $\mathfrak{su}(2)$ symetrickou bilinearní formu vztahem
 \begin{eqnarray} \label{306}
       B(X,Y):= -2\textrm{Tr}XY \ .
 \end{eqnarray} 
         Tato froma je pozitivně definitní, neboť pro prvky tvaru (\ref{305}) platí
         $$-2\textrm{Tr}X^2=x^2+y^2+z^2 \ , $$
         jde tedy o skalární součin. (Oceňme jeho invariantní\footnote[1]{nezávislý na volbě
         báze} zápis (\ref{306}).) 
         Zvolená báze (1) je ON. 

        (Jsme tedy v přesné "kopii" 3-rozměrného eukleidovského prostoru
         s kartézkými souřadnicemi $ \equiv \mathbb{R}^3$, dokonce i 
         s "vektorovým součinem"\\
         $"X \times Y" \equiv [X,Y]$.)\bigskip

     %su(2)*
 
        {\bf $\bullet \quad \mathfrak{su}(2)^*$ } \bigskip

          Díky konečné dimenzi  víme, že je $\mathfrak{su}(2)$ izomorfní
        se svým duálním prostorem. Nedegenerovanost $B(X,Y)$, tedy skalární
        součin, nám však umožňuje zapsat invariantní
        tvar takovéhoto iozomorfismu:

\begin{eqnarray}
   \mathfrak{su}(2) \rightarrow  \mathfrak{su}(2)^*: X \mapsto f_X \qquad f_X \equiv 
   \langle  f_X, \quad \rangle:=B(X, \ )
\end{eqnarray}

        (bilin. $B \ \Rightarrow$ linearita,  nedegenerovanost $B \ \Rightarrow$ prostota,
         konečná dim $\Rightarrow$ na)   
         Takto ztotožňujeme vektorový prostor $\mathfrak{su}(2)$ se svým duálním prostorem
         $\mathfrak{su}(2)^*$.  
                     \bigskip
                       \bigskip
                                

  %Ad(g)

        {\bf $\bullet \quad Ad(g)$   adjungovaná reprezentace SU(2) } \bigskip

          V minulé části jsme si ukázali teoretickou konstrukci adjungované akce
         obecné Lieovy grupy G na své Lieově algebře, neboli na tečném prostoru
         $T_e G$  v jednotce (z konstrukce víme, že jde o akci lineární a tedy akce $\equiv$
         reprezentace).

         Díky tomu, že nyní máme grupu i algebru realizovány maticemi, 
         stává se předpis pro tuto akci daleko méně abstraktním:
  \begin{displaymath}
       g \in SU(2), \ X \in \mathfrak{su}(2) \qquad
        Ad(g):\mathfrak{su}(2) \rightarrow \mathfrak{su}(2)
  \end{displaymath} 
 \begin{equation} \label{308}
       Ad(g)X = gXg^{-1}\qquad
  \end{equation}   
 ve smyslu násobení matic. 

        Zde ještě lépe vidíme, že Ad(g) je lin. operátor pro každé $g$,
        neboť: $Ad(g)(\alpha X+Y) = g(\alpha X+Y)g^{-1}=\alpha gXg^{-1}+gYg^{-1}=
        \alpha Ad(g)X + Ad(g)Y$.
        Díky tomu se můžeme omezit na vyšetření akce pouze na bazických vektorech 
        $J_1, J_2, J_3$ a působení na obecný prvek $X = \sum_{i=1}^3x^iJ_i$ je dáno
        zřejmě: $Ad(g)X = \sum_{i=1}^3x^i(Ad(g)J_i)$.\medskip


 Pro
\begin{displaymath}
  g = \left( \begin{array}{cc}
    a & -\overline{b} \\
    b &	 \overline{a}\\
  \end{array} \right)
  \quad \quad 
  g \in SU(2)
 \end{displaymath}
 
        je ve zvolené bázi (\ref{303}) lineární operátor $Ad(g)$ reprezentován  maticí

\begin{eqnarray} \label{309}
  Ad(g) \equiv \left( \begin{array}{ccc}
    \frac{a^2+\overline{a}^2}{2} - \frac{b^2+\overline{b}^2}{2}  & -\frac{a^2-\overline{a}^2}{2i}+\frac{b^2-\overline{b}^2}{2i} & a \overline{b} + \overline{a} b \\
    \frac{a^2-\overline{a}^2}{2i} + \frac{b^2 - \overline{b}^2}{2i}  &	\frac{a^2+\overline{a}^2}{2} + \frac{b^2+\overline{b}^2}{2}  & -i(a\overline{b} - \overline{a} b) \\
    -(ab + \overline{ab}) & -i(ab - \overline{ab}) & |a|^2 - |b|^2 \\
  \end{array} \right) \quad .
\end{eqnarray}\medskip

         Pro zavedený skalární součin platí 
   $$B(Ad(g)X,Ad(g)Y)=B(gXg^{-1},gYg^{-1})=-2\textrm{Tr}(gXg^{-1})(gYg^{-1})=$$
   $$  = -2 \textrm{Tr}g(XY)g^{-1} = -2\textrm{Tr}(XY)g^{-1}g = -2\textrm{Tr}XY = B(X,Y).$$
   Ad(g) tedy zachovává tento skalární součin a jde tak o reprezentaci \emph{ortogonální}.\smallskip

         Jak jsme naznačili výše máme na $\mathfrak{su}(2)$ kromě součinu skalárního
         zavedený také "vektorový součin" ($"X \times Y" \equiv [X,Y]$ ). Každá adjungovaná
         akce zachovává Lieovu operaci
   $$[Ad(g)X,Ad(g)Y]  =  gXg^{-1}gYg^{-1}-gYg^{-1}gXg^{-1} = g(XY-YX)g^{-1} =$$
   $$= Ad(g)[X,Y].$$ 
         V našem případě zachovává Ad(g) "vektorový součin" a tedy i "orientaci".\smallskip
   
          Adjungovaná akce zachovává "normu i orientaci na $\mathbb{R}^3$" a 
          je tedy \emph{speciálně ortogonalní reprezentací} SU(2). 
     

          (Necháváme čtenáři přesvědčit se, že matice (\ref{309}) je opravdu ortogonální
          s determinantem rovným jedné, t.j. prvek $SO(3)$.) 
                    \bigskip


         % Ad*(g)

{\bf $\bullet \quad Ad^*(g)$   koadjungovaná reprezentace SU(2) } \bigskip

          Z úvodu víme, že v obecném postupu metody orbit hraje 
          stěžejní roli reprezentace \emph{koadjungovaná}. Tato akce SU(2)
          na duálním prostoru $\mathfrak{su}(2)^*$ se získá z akce adjungované
          vztahem:
          $$Ad^*(g):= (Ad(g^{-1}))^* \quad , $$
          kde pravá strana značí algebraicky sdružený operátor k $Ad(g)$, to jest
    
$$ \forall \varphi \in \mathfrak{su}(2)^* 
   \qquad Ad^*(g)\varphi := \varphi \circ Ad(g^{-1}) \ .$$

          Jedná se tak také o levou lineární akci, tedy reprezentaci.\medskip

          V našem případě (obecně na každé prosté Lieově algebře), 
          bylo ale možné zavést bilineární nedegenerovanou formu B a díky ní 
          izomorfismus který nám vytváří invariantní dualitu 
          $\mathfrak{su}(2)^* \leftrightarrow \mathfrak{su}(2) $:

   \begin{displaymath}
     f \longleftrightarrow X_f  \qquad  X \longleftrightarrow f_X \ =  B(X, \ ) 
     \qquad f,f_X \in \mathfrak{su}(2)^*
     \quad  X,X_f  \in \mathfrak{su}(2).
   \end{displaymath}     

         Koadjungovaná akce SU(2) "zcela respektuje" tuto dualitu ve smyslu, že když
 $$ f_X  \  \longleftrightarrow \ X \quad ,$$ potom i 
 \begin{eqnarray}
  Ad(g)^*f_X  \ \longleftrightarrow  \ Ad(g)X \quad .
 \end{eqnarray} 
 
 \textsl{Důkaz:}
   \begin{eqnarray*}
      \forall Y \in  \mathfrak{su}(2) \quad (Ad^*(g)f_X)Y=f_X(Ad(g^{-1}Y)=B(X,Ad(g^{-1})Y)= \\ 
      =B(Ad(g^{-1})(Ad(g)X),Ad(g^{-1})Y)= B((Ad(g)X),Y)= f_{Ad(g)X}Y \ 
   \end{eqnarray*} 
  a tedy 
   $$ Ad^*(g)f_X \ = \ f_{Ad(g)X} \qquad \Box$$ 

            Takto se $\mathfrak{su}(2)$ pro nás stalo "věrnou kopií" $\mathfrak{su}(2)^*$ a 
           následnou konstrukci symplektických orbit můžeme BÚNO "přenést" z duálu do
           $\mathfrak{su}(2)$. (To nám velice usnadní výpočty a "zbystří" geometrickou
           intuici, vždyť jak bylo řečeno výše z našeho pohledu je $\mathfrak{su}(2)$
           eukleidovské $\mathbb{R}^3$. Máme tedy 
           $\mathfrak{su}(2)^* \equiv \mathfrak{su}(2)^ \equiv \mathbb{R}^3$.) 
           Nadruhou stranu nesmíme zapomínat, že myšlenková  linie obecné metody 
           orbit se ubírá přes duální prostor a naše ztotožnění je určeno zadáním 
           skalárního součinu na $\mathfrak{su}(2)$. To, že tvar "přenesené" 
           koadjungované akce se přesně  shoduje s akcí adjungovanou (\ref{308}) je specální 
           vlastností  SU(2).\footnote{ Vyplývající z faktu, že na $\mathfrak{su}(2)$ 
           existuje skalární součin invariantí vůči $Ad(g) \in SU(2)$ a ten jsme zvolili. 
           Obecně (jestli vůbec někde jinde)však takový invariantní skalární součin
           na Lieově algebře k zadané Lieově grupě neexistuje a "přenesená" 
           koadjungovaná akce se od akce adjungované \textsl{l i š í} 
           (stejně tak jejich orbity).}
           Proto budeme zachovávat značení $\mathfrak{su}(2)^*$, avšak pro funkcionály,
           resp. koadjungovanou akci budeme značení $f \equiv X$, resp. 
           $Ad(g)^* \equiv Ad(g)$ volně zaměňovat.  
\bigskip
 
    % Orbity

  {\bf $\bullet$  Orbity } \medskip


            Víme, že $\| Ad(g)X \| = \| X \|$, a tak  orbity grupy SU(2) 
           na $\mathfrak{su}(2)^* \leftrightarrow \mathfrak{su}(2)$
           musí být podmnožiny sfér ${\cal S}^{2}_r$ v $\mathbb{R}^3$ 
           se středem v počátku. 

            Jak uvidíme níže, 1-parametrické podgrupy SU(2)
           generované bazickými prvky $J_1,$ resp. $J_2,$ resp. 
           $J_3,$ působí na $\mathfrak{su}(2)^*$ 
           jako "rotace kolem os x, resp. y, resp. z" (v našem "eukleidovském" pohledu), a tak  
           na zadané sféře ${\cal S}^{2}_r$ lze libovolné dva body zobrazit jeden na druhý
           složením dvou takových "rotací".
     
            Rigorozněji řečeno, pro každé dva body 
           $X_1,X_2 \in \mathfrak{su}(2)^* \ \|X_1 \| = \|X_2\|=r \in \langle 0, +\infty)$
           existuje prvek $g \in SU(2)$ tak, že $Ad(g)X_1=X_2$ a naopak $Ad(g^{-1})X_2=X_1$. 
           SU(2) působí tedy na každé z těchto sfér \emph{tranzitivně} a zároveň       
          (kvůli ortogonalitě) je jejich \emph{symetrií}. 

            Hledanými orbitami jsou tedy právě sféry ${\cal S}^{2}_r$ se středem v počátku a 
           nezáporným poloměrem $r$, které budeme značit ${\cal O}_{r}$. (Sféře s nulovým
           poloměrem odpovídá počátek.)
           Získáváme tak rozklad (\emph{foliaci}) $\mathfrak{su}(2)^* \cong \mathbb{R}^3$ na  
           \emph{komponenty tranzitivnosti} 
           koadjungované akce $\equiv$ \emph{orbity}, 
           jsou to sféry ${\cal S}^{2}_r=:{\cal O}_{r}$.\bigskip


      % Stabilizatory a Homogenni prostor

       {\bf $\bullet$  Stabilizátory a Homogenní prostor} \medskip

           Najděme jádro adjungované reprezentace, t.j. vyšetřme rovnici Ad(g)=I.
          Použijeme pro to explicitní tvar (\ref{309}) a podmínku (\ref{301}),
          z kterých dostáváme 
          rovnice
 \begin{eqnarray}
     \nonumber   |a|^2+|b|^2=1  \\
     \nonumber   |a|^2-|b|^2=1  \\
               \Rightarrow |a|=1 , \  |b|=0 \ ,
  \end{eqnarray}
          a dále rovnici 
  \begin{eqnarray}
     \nonumber \frac{a^2+\overline{a}^2}{2}=1 \\   
     \nonumber \Rightarrow a=\pm 1 , \  b=0 \ .
  \end{eqnarray} 
         Tak vidíme, že jádro tvoří diskrétní dvouprvková podgrupa $\pm$jednotkových matic, 
 $\textrm{ker(Ad)}= \{ +I,-I \} \cong \mathbb{Z}_2$.    

          Nadruhou stranu je adjungovaná akce tranzitivní na jednotkové sféře a 
         zachovává orientaci,  můžeme tak prohlásit, že Ran(Ad)=SO(3).
 
          Z věty o homomorfismu tak získáváme důkaz známého faktu, že
         $$SO(3) \cong SU(2)/ \{ \pm I \} \ ,$$z kterého plyne například, že 
         $\mathfrak{so}(3)=\mathfrak{su}(2),$ nebo že SU(2) je 
         \emph{universální pokrývající grupou ($Spin_3 \mathbb{R}$)} 
         SO(3) \footnote{SO(3) není jednoduše souvislá noboť 
         je diffeomorfní s projektivním prostorem  $\mathbb{R}P^3$ 
         kvůli "2:1" zobrazení 3-sféry.}.
         Homomorfismus (\ref{309}) je tedy explicitní tvar \emph{kanonického homomorfismu}
         $$ \pi \ : \  SU(2) \rightarrow  \ SU(2)/ \{ \pm I \} \ \cong SO(3) .$$ 

          Třídy ekvivalence tvoří dvouprvkové množiny $\{ g,-g \}$.\footnote{SU(2)
         je uzavřeno na násobení -I, SO(3) ne, proč?} Máme tak známé zobrazení
         "2:1", odkud je značení "$ SU(2) \approx SO(3)$".  \medskip

          Dobrá, zjistili jsme, že adjungovaná reprezentace není transitivní,
         natož \emph{volná}.
         Nyní zjistíme grupu stability, neboli \emph{stabilizátor} adjungované
         akce.\smallskip
  
          Podívejme se jaké prvky SU(2) leží v stabilizátoru "severního (jižního) 
         pólu", neboli zachovávají "osu z". K tomu opět
         využijeme tvar (\ref{309}) a chceme aby matice byla blokového tvaru 
\begin{eqnarray*}
   Ad(g) = 
  \left( \begin{array}{ccc}
    * &  * & 0  \\
    * &  *  & 0  \\
    0     &     0    & 1  \\
  \end{array} \right) \quad t \in \mathbb{R} \ .
\end{eqnarray*}
          Dostaváme vlastně opět rovnice (11), z kterých vidíme, že 
         hledané prvky jsou tvaru (\ref{302}), neboli "osu z" zachovává pravě
         podgrupa U(1). Opravdu máme  
\begin{eqnarray*}
  h \in U(1): \quad                  
  Ad(h) = \left( \begin{array}{ccc}
    \frac{e^{2it}+e^{-2it}}{2} & -\frac{e^{2it}-e^{-2it}}{2} & 0  \\
    \frac{e^{2it}-e^{-2it}}{2} & \frac{e^{2it}+e^{-2it}}{2}  & 0  \\
    0 & 0 & 1  \\
  \end{array} \right),
 \end{eqnarray*}
   
        neboli

  \begin{eqnarray*}
   Ad(h) = 
  \left( \begin{array}{ccc}
    \cos2t & -\sin2t & 0  \\
    \sin2t & \cos2t  & 0  \\
    0     &     0    & 1  \\
  \end{array} \right) \quad t \in \mathbb{R} \,
 \end{eqnarray*}

         U(1) působí jako rotace "kolem osy z" a je stabilizátorem
        "severního (jižního) pólu" na každé ${\cal O}_r$. Z teorie
        víme, že stabilizátory všech bodů orbity jsou vzájemně izomorfní
        a U(1) je tedy dobrý "reprezentant" stabilizátorů adjungované akce.
 
         U(1) není normální podgrupa a tedy SU(2)/U(1) není grupa, nicméně
        nám teorie Lieových grup říká, že topologický prostor SU(2)/U(1) s 
        faktortopologií levých rozkladových tříd nazývaný \emph{homogenní prostor}
        je právě diffeomorfní s orbitou, t.j. 
        $$ SU(2)/U(1) \ \stackrel{diff}\cong \ {\cal O}_r \ .$$ 
    
   \bigskip
 
        Nyní tedy víme, co jsou orbity v našem případě a tak máme připravený
        terén, na kterém metoda orbit může stavět.

  \bigskip 

        \section{"Hamiltonovská reprezentace" $\mathfrak{su}(2)$ na ${\cal O}_r$}

              V této části, zkonstruujeme první reprezentaci $\mathfrak{su}(2)$.
             Tato reprezentace, však nebude příliš standardní, neboť nebude na 
             nějakém komplexním Hilbertově prostoru, ale pouze na nekonečněrozměrném 
             realném prostoru hladkých funkcí na orbitě. Proto bychom mohli tuto 
             reprezentaci pojmenovat v analogii s fyzikou: reprezentací "klasickou", nebo
             přesněji, jak dále uvidíme, "reprezentací Hamiltonovskou".\bigskip


      %indukovana vekt. pole
 
  {\bf $\bullet$  Indukovaná vektorová pole} \medskip

             Nejdříve se podíváme na slibovaný explicitní tvar akcí 1-parametrických
            podgrup generovaných bazickými prvky $\mathfrak{su}(2)$. Každému z 
            $J_1, J_2, J_3$ přísluší 1-rozměrná ($\equiv$ 1-parametrická) podgrupa SU(2)
            označená $\exp(-tJ_k)$, jejíž prvky $u_k(t)$, v našem 
            případě maticové realizace, získáme opravdu výpočtem exponenciely matice
            $J_k$, to je z definice:

  \begin{displaymath}
    u_k(t)= e^{-tJ_k}:= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-tJ_k)^n \qquad t\in \mathbb{R} \ . 
  \end{displaymath}

            Přímým výpočtem \footnote{Vzpomeňme si na Hamilton-Caleyho větu, abychom
           nemuseli počítat mocniny matice do nekonečna. 
           (matice $2\times 2 \Rightarrow $stačí do dvou:)}
           získáme explicitní tvary \footnote{Čtenář nechť ověří, že jsou to opravdu 
           abelovské (pod)grupy.}: 

\begin{eqnarray*}                      
  u_1(t) = \left( \begin{array}{cc}
   \cos{\frac{t}{2}}  & -i\sin{\frac{t}{2}} \\
    -i\sin{\frac{t}{2}} & \cos{\frac{t}{2}} \\
  \end{array} \right) \
     u_2(t) = \left( \begin{array}{cc}
    \cos{\frac{t}{2}} & \sin{\frac{t}{2}} \\
    -\sin{\frac{t}{2}} & \cos{\frac{t}{2}} \\
  \end{array} \right) \
     u_3(t) = \left( \begin{array}{cc}
    e^{-i{\frac{t}{2}}} & 0 \\
    0 & e^{i{\frac{t}{2}}} \\
  \end{array} \right).
  \end{eqnarray*}

   Dalším přímým výpočtem 
           $$ Ad(u_k(t))X=u_k(t)Xu_k(-t) \quad, \ X\in \mathfrak{su}(2)^* $$
           dostaneme (ko)adjungované akce každé z těchto podgrup. Matice odpovídajíci
           $Ad(u_k(t))$ v námi zvolené bázi $\mathfrak{su}(2)^* $je přesně matice 
           rotace kolem k-té osy v $\mathbb{R}^3$, tedy jednu za všechny:

 \begin{eqnarray*}
   Ad(u_1(t)) = \left( \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0  \\
    0 & \cos{t}  & \sin{t}  \\
    0 & -\sin{t} & \cos{t} \\
  \end{array} \right) \quad t \in \mathbb{R} \ .
 \end{eqnarray*}

           Tyto 1-parametrické akce tvoří toky v $\mathbb{R}^3$ a každému 
           z nich odpovídá hladké vektorové pole na $\mathbb{R}^3$ (zderivováním podle
           $\frac{d}{dt}$ a položením $t=0$). Dostáváme tak zobrazení z konečné Lieovy 
           algebry $\mathfrak{su}(2)$   
           do nekonečné Lieovy algebry $({\mathcal X}(\mathbb{R}^3), [ \ , \ ])$ 
           hladkých vektorových polí na 
           $\mathfrak{su}(2)^* (\equiv \mathbb{R}^3) : J_k \mapsto \xi_k $.
 
Kde explicitně: 

 \begin{equation} \label{312}
   \xi_1=x_3\frac{\partial}{\partial x_2}-x_2\frac{\partial}{\partial x_3},\quad
   \xi_2=x_1\frac{\partial}{\partial x_3}-x_3\frac{\partial}{\partial x_1},\quad
   \xi_3=x_2\frac{\partial}{\partial x_1}-x_1\frac{\partial}{\partial x_2}.
 \end{equation}

          (Tzv. "generátory rotace" \footnote{(Vzpomeňme na tvary 
                 operátorů složek momentu hybnosti $L_k$ v QM.)}.) 

           Zcela stejným způsobem 
          (exponenciela -tX$\rightarrow$koadjungovaná akce$\rightarrow$
           tok$\rightarrow$generátor toku) bychom přiřadili vektorové pole obecnému prvku
           X z $\mathfrak{su}(2)$ : $X \mapsto \xi_X $. Toto zobrazení je lineární a 
           mluví se o \emph{indukovaných} vektorových polích.
           Dále přímým výpočtem platí komutační relace 

 \begin{equation} \label{313}
 [\xi_i,\xi_k]=\epsilon_{ijk}\xi_k.
 \end{equation}
           Porovnáním s (\ref{304}) získáváme homeomorfismus Lieových algeber. 

           Jelikož jsme viděli, že jádro koadjungované akce je diskrétní, je jádro 
           tohoto homeomorfismu nulový podprostor a máme tak \emph{vnoření}:
 \begin{equation}
    \mathfrak{su}(2) \hookrightarrow 
    ({\mathcal X}(\mathbb{R}^3), [ \ , \ ]).
 \end{equation} 

           Neboli získáváme první \emph{reprezentaci} $\mathfrak{su}(2)$. (Dokonce věrnou.)

           Obrazem této reprezentace je 3-rozměrná Lieova podalgebra

   $$span_{\mathbb{R}}[\xi_1,\xi_2,\xi_3] \quad \Subset \quad {\cal X}(\mathbb{R}^3)$$  
 
           nekonečněrozměrné Lieovy algebry ${\cal X}(\mathbb{R}^3)$ 
           vektorových polí na $\mathbb{R}^3$ . 
\medskip

           Každý z toků indukovaných polí zachovává jednotlivé orbity a tak
           v každém bodě leží vektory indukovaných vektorových polí v tečném
           prostoru orbity v tomto bodě. BÚNO tak můžeme indukovaná vektorová
           pole zúžit na orbity (sféry) a máme tedy vnoření
 
 \begin{equation}
   \mathfrak{su}(2)\hookrightarrow({\cal X}({\cal O}_r), [ \ , \ ]) .
 \end{equation}
 
           Nyní si toto zúžení explicitně vyjádříme v lokálních komplexních 
           souřadnicích (v komplexní mapě) na orbitě (s nenulovým poloměrem).\bigskip

% Lokální komplexní souřadnice a symplektická struktura


{\bf $\bullet$  Lokální souřadnice na ${\cal O}_r$ 
        a symplektická forma $\omega_r$} \medskip

         Za lokální souřadnice zvolíme stereografickou projekci "z jižního pólu":

  \begin{equation} \label{316}
    z = \frac{x_1+ix_2}{r+x_3}, \qquad  \overline{z} = \frac{x_1-ix_2}{r+x_3}. 
  \end{equation}
         Inverzní transformace má tvar 

 \begin{equation} \label{317}
  x_1=r\frac{z+\overline{z}}{1+|z|^2},\quad
  x_2=-ir\frac{z-\overline{z}}{1+|z|^2},\quad
  x_3=r\frac{1-|z|^2}{1+|z|^2}. 
 \end{equation}
         Tyto lokální souřadnice pokrývají celou sféru s
         vyjímkou jediného bodu $x=(0,0,-r)$.\smallskip

         Vyjádření indukovaných polí v lokálních souřadnicích
         můžeme získat buď převedenim 1-parametrických akcí
         do lokálních souřadnic a následným zderivovaním podle $t$, nebo
         přímým zobrazením polí (\ref{312}) pomocí tečného zobrazení k (\ref{316}).

         Oba způsoby vedou k výsledkům:

  \begin{eqnarray}\label{318}
   \nonumber  \xi_1 & =  &\frac{i}{2}(1-z^2)\frac{\partial}{\partial z}
    -\frac{i}{2}(1-\overline{z}^2)\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \ ,\\
    \xi_2 & = & -\frac{1}{2}(1+z^2)\frac{\partial}{\partial z}
    -\frac{1}{2}(1+\overline{z}^2)\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \ ,\\
  \nonumber  \xi_3 & = & -iz\frac{\partial}{\partial z}
    +i\overline{z}\frac{\partial}{\partial \overline{z}}.
  \end{eqnarray} 

         Laskavý čtenář, nechť přímým výpočtem ověří, že i zde platí komutační
         relace (\ref{313}).\medskip 

         V tomto místě přichází jeden ze silných okamžiků metody orbit a to je,
         že nám dává návod jak explicitně zkonstruovat na 
         ${\cal O}_r$ ($\subset \mathfrak{su}(2)^*$) symplektickou formu $\omega$.
         (Zatím máme orbity sudé dimenze, tedy nejsme úplně na špatné cestě.)

         V prvním kroku zkonstruujeme "pouze" anti-symetrickou 2-formu definovanou
         "pouze" na indukovaných vektorových polích $\xi_X$ v $\mathfrak{su}(2)^*$.
 
         V každém bodě $f \in \mathfrak{su}(2)^*$ je, jak jsme viděli v minulé
         kapitole, definována předpisem:

 \begin{displaymath}
  \omega(f)(\xi_X,\xi_Y): \ = -\langle f, [X,Y] \rangle = \ -f([X,Y])
   \qquad \quad \forall f \in \mathfrak{su}(2)^*
 \end{displaymath} \medskip

         V našem případě nám samozřejmě stačí ji mít definovanou pro "bazická" 
         vektorová pole $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ (pro ostatní indukovaná pole linearitou).
         Tedy například:

  \begin{equation}
     \omega(f)(\xi_1,\xi_2)=-f([J_1,J_2])=-f(J_3)=-\langle f, J_3 \rangle
     = -\lambda_3(f).
  \end{equation}    

         Funkce $\lambda_3$ je vlastně "třetí souřadnicový funkcionál" na
         $\mathfrak{su}(2)^*$ odpovídající  zvolené bázi $J_1, J_2, J_3$.
         Pro $f$ se souřadnicemi $f = (x_1,x_2,x_3)$ je tedy:
         
$$ \omega(f)(\xi_1,\xi_2)= \omega(x_1,x_2,x_3)(\xi_1,\xi_2)=-\lambda_3(f)=-x_3.$$ 

         (Dále cyklicky.) Nyní $\omega$ zúžíme na orbitu ${\cal O}_r$ a vyjádříme
         v lokálních souřadnicích (\ref{317}) 
\begin{equation} \label{320}
  \omega_r(\xi_1,\xi_2) \ \equiv \ \omega_r(z,\overline{z})(\xi_1,\xi_2) 
   \ = \ -r\frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} \ .
\end{equation}

         Stejně tak pro další dvě možnosti
   \begin{eqnarray} \label{321}
  \nonumber  \omega_r(\xi_2,\xi_3) & = & \quad -r\frac{z+\overline{z}}{1+|z|^2} \ ,\\
             \omega_r(\xi_3,\xi_1) & = & ir\frac{z-\overline{z}}{1+|z|^2} \ .
   \end{eqnarray}
 
        Nadruhou stranu je nám jasné, že $\omega_r$ musí být tvaru
   \begin{equation} \label{322}
     \omega_r \ = \ h(z, \overline{z}) dz \wedge d\overline{z}  \ ,
   \end{equation}
        kde $h(z, \overline{z})$ je komplexní funkce komplexní proměnné, kterou tedy 
        potřebujeme najít.

        Ze znalosti explicitních tvarů (\ref{318}), dosazených do (\ref{322}),
        a požadavku rovností (\ref{320}) a (\ref{321}), dostaneme jednoznačný tvar
        $h(z, \overline{z})$ a tedy:

 \begin{equation} \label{323}
   \omega_r \ = \ -\frac{2ir}{(1+|z|^2)^2} \ dz \wedge d\overline{z} \quad.
 \end{equation} \medskip

 
        Konstrukce $\omega$ ukázala proč jsme se vůbec zajímali o duál 
        $\mathfrak{su}(2)^*$.  Nyní využijeme samotné orbity, a to proto, že
        zatím máme $\omega$ definované pouze na indukovaných vektorových 
        polích $\xi_X$. Ta ale leží pouze v tečných prostorech $T_f{\cal O}_r$
        a nemohou tedy tvořit bázi tečných prostorů v jednotlivých bodech   
        celého $\mathfrak{su}(2)^*$. (Mohli bychom ji sice položit nule 
        na "ostatních" tečných vektorech, ale potřebujeme přeci nedegenerovanost.)

        Nadruhou stranu, je stabilizátor v každém bodě jednorozměrný. Teorie
        Lieových grup nám říká, že v každém bodě orbity je dimenze podprostoru
        tečného prostoru tvořeného vektory indukovaných vektorových polí v daném bodě
        rovna dimenzi Lieovy algebry méně dimenze stabilizátoru. V našem případě 
        tedy 3 - 1 = 2.

        Indukovaná vektorová pole $\xi_X$ tedy generují celý tečný prostor 
        $T_f{\cal O}_r$ v každém bodě $f$ orbity.
        Na jednotlivých orbitách ${\cal O}_r$ máme tedy opravdu dobře definovánu 
        diferenciální 2-formu $\omega_r$.\medskip

        Nyní se můžeme (a musíme) omezit na orbity. Dále budeme převážně 
        mluvit pouze o jedné orbitě ${\cal O}_r$, vyjadřujíce tak libovolnou
        z orbit s nenulovým poloměrem $r$.\medskip
 
        Zbývá otázka, zda $\omega_r$ je formou \emph{symplektickou}, tj. uzavřenou
        a nedegenerovanou. Metoda orbit zaručuje kladnou odpověď na tuto otázku
        a my se o tom můžeme v našem případě explicitně přesvědčit:\smallskip

        \emph{Uzavřenost}, t.j. $d\omega_r=0$, výplývá přímo z toho, 
        že se jedná o 2-formu na 2-rozměrné varietě.\smallskip

        Z explicitního tvaru (\ref{318}) vidíme že v každém bodě orbity jsou alespoň
        dvě z "bazických" vektorových polí $\xi_k$ nenulová a mohou tak tvořit
        bázi tečného prostoru v tomto bodě. Úplně přesně, $\xi_1$ se vynuluje pouze 
        v bodech $\pm (1,1)$, $\xi_2$ v $\pm (i,-i)$ a $\xi_3$ pouze v (0,0) (a    
        v $\infty$). V každém z těchto "pevných (kritických)" bodů jsou ostatní
        dvě vektorová pole nenulová a $\omega_r$ na nich nabývá nenulové hodnoty.
        Naopak, z tvarů (\ref{320}) a (\ref{321}) vidíme, že $\omega_r$ nabývá
        nuly na "bazických"  vektorových polí právě a pouze v těchto
        "kritických" bodech, tj. pouze je-li jedno z nich v tomto bodě
        nulovým vektorem.\smallskip 

        Tak máme zaručeno, že $\omega_r$ je \emph{nedegenerovaná} a 
        celkem tedy symplektická diferenciální forma na ${\cal O}_r$.\bigskip





%Poissonva zavorka a Kanon.homomorfismus

             
{\bf $\bullet$ Poissonova závorka a "Kanonický" homomorfismus na ${\cal O}_r$ } \medskip

        Nyní víme, že $({\cal O}_r,\omega_r)$ jsou symplektické variety a využijeme
        této symplektické struktury k sestrojení Hamiltonovského systému na každé
        z nich. To znamená dle obecného postupu popsaného v minulé kapitole:
   \begin{enumerate}
     \item dualita mezi 1-formami a vektorovými poli 
     \item zavedení podprostoru Hamiltonovských vektorových polí ${\cal X}_H$ 
     \item zavedení Poissonovy závorky $\{ \ , \ \}$ na ${\cal A}$ 
     \item sestrojení a ověření "kanonického" homomomorfismu \\
           $k :({\cal A},\{  ,  \})  \rightarrow ({\cal X}_H, [,])$ 
   \end{enumerate}\medskip

       Díky nedegenerovanosti $\omega_r$ víme, že jsou dif. 1-formy $\nu$ a 
       hladká vektorová pole $\xi$ v jednoznačném vztahu přes zobrazení: 
       $\xi \leftrightarrow \nu = \omega_r(\xi, \ ).$\medskip

       Nechť ${\cal A}$ je komutatitvní algebra hladkých funkcích na ${\cal O}_r$,
       potom můžeme pomocí duality "1-formy $\leftrightarrow$ pole" sestrojit zobrazení 
       $k: {\cal A} \rightarrow {\cal X},$
 
  \begin{equation}
    k:f \mapsto \xi_f  
    \quad \textsl{via} \quad f \mapsto df \leftrightarrow \xi_f \qquad
    \forall f \in {\cal A} 
  \end{equation}

       Zobrazení $k$ je lineární a nazveme jej "kanonickým" homomomorfismem. 
       Obor hodnot "kanonického" homomorfismu tedy tvoří vektorový podprostor 
       Lieovy algebry $({\cal X}, [,])$ hladkých vektorových polí na  ${\cal O}_r$,
       který budeme značit ${\cal X}_H$. Jeho prvky budeme nazývat Hamiltonovská 
       vektorová pole, zkráceně \emph{Hamiltonovská pole}.

       Jádro "kanonického" homomorfismu tvoří konstantní funkce 
       ( orbity ${\cal O}_r$ jsou souvislé) a tedy každé Hamiltonovské pole je určeno
       jednoznačně hladkou funkcí $f$ na ${\cal O}_r$ až na konstantní funkci. Budeme
       tedy pro Hamiltonovská pole používat označení $\xi_f$.

       V našich lokálních  souřadnicích (\ref{316}) můžeme vyjádřit explicitní tvar
       Hamiltonovského pole odpovídajícího funkci $f$. Z požadavku 
       $ \omega(\xi_f, \ )=df $ plyne: 

\begin{equation} \label{325}
    \xi_f = -\frac{(1+|z|^2)^2}{2ir}
    \biggl( \Bigl(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\Bigr)\frac{\partial }{\partial z} \
     - \ \Bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr)\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\biggr)
     \qquad \forall f\in {\cal A} \ .
\end{equation} \medskip

       Nyní tedy můžeme závést Poissonovou závorku dle předpisu z minulé kapitoly:

    \begin{equation*}
        \{f , g \}:= - \ \omega_r(\xi_f , \xi_g)    \quad \qquad 
        \forall f,g\in {\cal A},
    \end{equation*}  
     nebo ekvivalentními způsoby
  \begin{displaymath}
    \{ f,g \}= \xi_f g  \qquad \{ f,g \}= dg(\xi_f).  
  \end{displaymath}  

       Celkem
 \begin{equation}
     \{ f,g \} \ = - \ \omega(\xi_f,\xi_g) \ = \ \xi_f g \ = \ dg(\xi_f).
 \end{equation}\smallskip

       V lokálních souřadnicích (\ref{316}) potom Poissonova závorka nabývá 
       konkrétního tvaru

 \begin{displaymath}
      \{ f,g \} \ = \ \xi_f g \ = \ 
      \frac{(1+|z|^2)^2}{2ir}
    \biggl( \Bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr)
    \Bigl( \frac{\partial g}{\partial \overline{z}} \Bigr) \
     - \ \Bigl(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\Bigr)
    \Bigl( \frac{\partial g}{\partial z}\Bigr) \biggr) \qquad
     \forall f,g  \in {\cal A} \ .
 \end{displaymath} \smallskip


       Algebra ${\cal A}$ hladkých funkcí na ${\cal O}_r$ s Poissonovou závorkou 
       zřejmě tvoří nekonečněrozměrnou Lieovu algebru $({\cal A}, \{ , \} )$.\medskip
 
 
       Z minulé kapitoly víme, že při výše zavedeném tvaru duality a Poissonovy
       závorky, platí pro Hamiltonovská vektorová pole významná
       věta 

 \begin{displaymath}
       \xi_{ \{f,g\} } \ = \ [\xi_f,\xi_g]  \quad \quad ,
 \end{displaymath} 
     neboli
 \begin{displaymath}
      k \ : \{ f,g \} \ \mapsto  \ [k(f),k(g)] \quad \quad   
 \end{displaymath}

       "kanonický" homomorfismus je dokonce homomorfismem 
       Lieových algeber a ${\cal X}_H$ je nejen podprostorem, 
       ale i Lieovou podalgebrou $({\cal X},[,])$.\bigskip


   %VNORENI su(2) do (A,{,})

{\bf $\bullet$ Vnoření $\mathfrak{su}(2)$ do $({\cal A}, \{ , \} )$ } \medskip     
 
       Nyní přicházíme k dalšímu silnému momentu ("klasické části") metody orbit, 
       který, přestože na první pohled vypadá nenápadně, je zcela kruciální.

       Jedná se o slibovanou realizaci 3-rozměrné 
       $\mathfrak{su}(2)$ uvnitř nekonečněrozměrné Lieovy algebry   
       $({\cal A}, \{ , \} )$ hladkých funkcí na orbitě ${\cal O}_r$.

       K realizaci prvků $\mathfrak{su}(2)$ pomocí funkcí na orbitě podruhé
       využíváme toho, že se jedná o orbity v duálu. (Poprvé to bylo pro konstrukci
       $\omega$.) Funkce realizující prvek $X$ je totiž v každém bodě 
       $f$ z $\mathfrak{su}(2)^*$, a tedy i v jednotlivých bodech orbit, 
       definována jako

  \begin{displaymath}
        \lambda_X (f) \ := \ f(X) \ = \langle f,X \rangle  \qquad 
        \forall f \in {\cal O}_r \subset \mathfrak{su}(2)^*.
  \end{displaymath}

       Jedná se tedy čistě o lineární funkcionály na $\mathfrak{su}(2)^*$ 
       zúžené dále na jednotlivé orbity. Tím je okamžitě dáno, že:
  \begin{enumerate}
   \item  $\lambda_X$ jsou hladké funkce na $\mathfrak{su}(2)^*$ 
           $\Rightarrow$ hladké funkce i na ${\cal O}_r$ (proč?)
   \item  zobrazení $\lambda$ je lineární: 
          $\lambda_{\alpha X+\beta Y} = \alpha \lambda_X + \beta \lambda_Y  $
   \item  $\textrm{ker} \lambda = \{ 0 \}$.
  \end{enumerate}
       Máme tedy monomorfismus $\mathfrak{su}(2)^* \rightarrow {\cal A}$ 
       pro každou orbitu ${\cal O}_r$ .\medskip

       Funkce $\lambda_{J_k}$ budeme dále značit jen $\lambda_k$. V lokálních 
       souřadnicích (16) je pro $X=\alpha J_1 + \beta J_2 + \gamma J_3$
  
\begin{displaymath}
   \lambda_X (z, \overline{z}) =  \alpha \lambda_1  (z, \overline{z})
   + \beta \lambda_2 (z, \overline{z}) + \gamma \lambda_2 (z, \overline{z}) \quad,
 \end{displaymath}
       
       kde 

\begin{eqnarray} \label{327}
  \nonumber  \lambda_1 \ (z, \overline{z}) & = & r  \frac{(z+\overline{z} )}{1+|z|^2} \\
             \lambda_2 \ (z, \overline{z}) & = & -ir \frac{(z-\overline{z})}{1+|z|^2} \\
  \nonumber  \lambda_3 \ (z, \overline{z}) & = & r   \frac{(1-|z|^2)}{1+|z|^2} \quad. 
\end{eqnarray}
 
 
 
       Laskavý čtenář tak může přímým výpočtem v souřadnicích ověřit, že
  \begin{displaymath}
         \{ \lambda_1, \lambda_2 \} = \lambda_3  \quad
       \textrm{(a cykl.)}  \qquad ,  
  \end{displaymath}   
       (případně zavzpomínat na složky hybnosti jako klasické pozorovatelné 
       na fázovém prostoru $\mathbb{R}^{3+3}$).\medskip

       Tento výsledek v souřadnicích je však
       přímým důsledkem (2.11). \medskip

       Takto jsme explicitně završili "klasickou část" metody orbit pro $\mathfrak{su}(2)$.
       Pro fyzikální interpretace a další prohloubení "klasické části" 
       metody orbit pro $\mathfrak{su}(2)$  vřele doporučuji \cite{to}.\medskip

       Nyní přejdeme k části "kvantové".    


  %  P R E -  K V A N T O V A N I
       
  
 \section{Pre-kvantovaní orbit ${\cal O}_r$ }
  
        Máme zkonstruovány symplektické variety ${\cal O}_r$,
        neboli sféru $S^2$, na které máme zadánu jednu ze symplektických 
        2-forem $\omega_r$. Nyní, přicházíme do "kvantové části" metody orbit a
        v ní začneme procesem: "pre-kvantování". \medskip

        Teoretickou stranu jsme podrobně probrali v minulé části, můžeme tedy
        přímo přejít k využití jejích výsledků pro případ sféry $S^2$ se
        symplektickou formou $\omega_r$ :
    \begin{enumerate}
       \item Weilovo lemma na sféře $\Rightarrow$ podmínka integrality
       \item Jednoduchá souvislost sféry $\Rightarrow$ jednoznačnost line-bundlu s konexí
       \item Explicitní sestrojení line-bundlu s konexí v souřadnicích
       \item Explicitní konstrukce  repreprezentací pro $\xi_1, \xi_2, \xi_3$
   \end{enumerate} \bigskip  
  

{\bf $\bullet$ Podmínka integrality  } \medskip

       Abychom se mohli bavit o reprezentaci pomocí line-bundlů s konexí
      je třeba zjistit, za jakých podmínek nad ${\cal O}_r$ vůbec 
      line-bundle s konexí existuje.

      Z teoretické části víme, že tuto otázku plně zodpovídá Weilovo lemma,
      které klade na 2-formu křivosti ${\cal R}$ tzv. \emph{podmínku integrality}:
      \emph{Nad M existuje line-bundle s konexí, jejíž křivost je ${\cal R}$,
      tehdy a jen tehdy je-li ${\cal R}$ "integrální"}, tj. je-li integrál 
 \begin{displaymath}
     \frac{1}{2 \pi i } \int_{\sigma} {\cal R} \ = \ n \in \mathbb{Z}  
 \end{displaymath}
z ${\cal R}$ přes všechny nezávislé 2-cykly ${\sigma}$ \emph{celočíselný}.\medskip


       V našem případě ${\cal O}_r \cong {\cal S}^2$ je jediný nezávislý 
       2-cyklus celá orbita ${\cal O}_r$  a zajímá nás tedy integrál 
 \begin{equation}
      \frac{1}{2 \pi i } \int_{{\cal O}_r} {\cal R} \ = \ \frac{1}{2 \pi i } 
      \int_{ {\cal O}_r} i \omega_r.
   \end{equation}  
       Tento integrál je pro 
   \begin{eqnarray*}
       z   =    u+iv ,  \\
       \overline{z}   =  u-iv \\ 
       \quad (u,v) \in  \mathbb{R}^2 \\
       \Rightarrow dz \wedge d \overline{z} = (-2i) (du \wedge dv) \ ,
   \end{eqnarray*}
       roven
     \begin {equation}
         \frac{1}{2 \pi i } \int_{{\cal O}_r} i \omega_r = \frac{1}{2 \pi i }
         \int_{\mathbb{R}^2} \frac{i(-ir)}{(1+u^2+v^2)^2} (-2i)du \wedge dv  
         = -2r.            
     \end{equation}

        Vidíme tedy, že křivost ${\cal R}$ odpovídající $\omega_r$ je
        integrální tehdy a jen tehdy, je-li 
    $$ -2r  \in \mathbb{Z} \ \Leftrightarrow \ r = \frac{n}{2} \ , \quad n \in  \mathbb{Z} $$ 
        a neboť je $r$ kladné či nulové  je to právě když
 \begin{equation} \label{330}
              r \ = \ 0, \ \frac{1}{2}, \ 1, \ \frac{3}{2}, \ \cdots  \quad .
 \end{equation} \medskip
   
        Výsledek tedy je, že nad sférou ${\cal S}^2$ existuje line-bundle s konexí,
        jejíž křivost je $i\omega_r$ tehdy a jen tehdy je-li $r$ poločíselné. 
        (\emph{Topologické kvantování}) \bigskip

        Uvedeme si několik intrepretací získaného výsledku: \medskip
        

\begin{itemize}
  \item V našem případě interpretujeme $r$ jako poloměr orbit ${\cal O}_r$ a
        $\omega_r$, "kvantovací podmínka" tedy eliminuje všechny orbity s 
         nepoločíselnými a neceločíselnými poloměry. (Následně i převážnou část 
        "lokálních reprezentací", které by se  
         získali pouhým "geometrickým kvantováním". )\bigskip

 
\item    Uvažujeme-li dále s orbitou ${\cal O}_r$  symplektickou formu $\omega_r$
         , tvoří dohromady Hamiltonovský systém (fázový prostor) 
         $({\cal O}_r,\omega_r)$, obsahující "Poissonovskou realizaci" algeber
         $\mathfrak{su}(2)=\mathfrak{so}(3)$(složky momentu hybnosti).
          Podle  práce J.Tolara a B.Jurča \cite{to}, můžeme takové sympletkické
          variety fyzikálně interpretovat jako fázové prostory "klasické částice
          s vlastním momentem hybnosti - spinem - $\vec{S}$, s konstantní velikostí
          $\| \vec{S} \|= \sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}=r$ ". (odmocnina z kvadrátu momentu
          hybnosti)
  
          Topologické kvantování, tedy vybere pouze "částice s poločíselným 
          a celočíselným spinem".  (fázový objem je $2\pi \cdot$ celočíselný)
          \bigskip

 \item   Uzavřené diferenciální 2-formy $\omega_r$ na ${\cal S}^2$ lze však
         také získat při vyjádření stacionárního magnetického pole v 
         $\mathbb{R}^3-\{ 0 \}$ buzeného magnetickým nábojem 
         $r$ umístěným v počátku 

  \begin{displaymath}
     \vec{B}_r(x,y,z)=-\frac{r}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}(x,y,z) \   
  \end{displaymath}
         (tzv. \emph{Diracův magnetický monopól}, analog 
          Coulombova elektrického monopólu), ekvivalentně
          pomocí uzavřené diferenciální 2-formy na
          $\mathbb{R}^3-\{ 0 \}$ tvaru: 

  \begin{equation}
    \mathbb{B}_r = -\frac{r}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})} 
    \bigl(z dx \wedge dy + y dz \wedge dx + x dy \wedge dz \bigr) \ .  
  \end{equation}

          Přechodem do sférických souřadnic zjistíme, že tato 2-forma
          nezávisí na poloměru, pouze na úhlech a "náboji" $r$.  
          ($\mathbb{R}^3-\{ 0 \}$ je homotopické s ${\cal S}^2$.) 
          Můžeme ji tak BÚNO zadefinovat na sféře ${\cal S}^2$
   
\begin{displaymath}
              \omega_r \ := \mathbb{B}_r|_{{\cal S}^2} \ .
 \end{displaymath}

           Řekneme-li, že chceme konstruovat kvantovou mechaniku  
           v tomto poli magnetického monopólu, potom standardní 
           postup lze použít pouze lokálně, neboť neexistuje 
           "globální vektorový potenciál" ($\vec{A}\equiv\alpha$) potřebný pro definici
           Hamiltoniánu na celém $\mathbb{R}^3-\{ 0 \}$ (ekvivalentně nad sférou),
           ( $\mathbb{B}_r$ jsou totiž "generátory" netriviálních tříd 2. DeRhamovy 
           kohomologie ${\cal H}^{2}_{DR}(\mathbb{R}^3-\{ 0 \}, \mathbb{R})
           \cong(\mathbb{R},+)$ ).
           \medskip

           Zároveň je zajímavé pozorování, že pohybové rovnice \emph{volného} kvanta 
           (Schrödingerova, Klein-Gordonova, ani Diracova), nejsou "U(1)-lokálně 
           kalibračně symetrické", tj.vynásobení nekonstantní funkcí tvaru $e^{if}$,
           není symetrií (přestože pravděpodobnostní interpretace vlnové funkce
           by to očekávala). Stanou se jimi, až když se nahradí parciální derivace
           derivací "kovariantní"
            $$ \partial_{\mu} \ \rightarrow \ \nabla_{\mu} \ : \ = \partial_{\mu} 
               \ + \ i\alpha(\partial_{\mu}) \ ,$$
           pro libovolnou 1-formu $\alpha$ ("vektorový potenciál", např.nulový). Lokální
           kalibrační transfomace se potom projeví jako
           $$ \psi \ \rightarrow \ e^{if}\psi \ , \quad \ i\alpha \ \rightarrow \ 
           i\alpha + \ idf \ , $$
           tedy "lokálně kalibračně transformovaná" vlnová funkce je řešením pohybové
           rovnice, ale při "jiné kovariantní derivaci".\medskip

            My již tušíme, že všechny tyto "nejednoznačnosti" a "kalibrační
           symetrie", jsou pouze lokálními projevy pravého přirozeného globálního popisu,
           tj. popisu pomocí řezů v \emph{komplexním line-bundlu s 
           konexí}.\footnote{Jehož křivosti obecně odpovídá elektro-magnetická 
           2-forma $i\mathbb{F}$ (Maxwellův tenzor).}
           \medskip

           V případě nabitého kvanta ve stacionárním poli magnetického monopólu,
           by křivostí takového line-bundlu byla právě některá z forem $\mathbb{B}_r$.
           Na to, aby line-bundle existoval, musí ale $\mathbb{B}_r$ spľnovat 
           "podmínku integrality", ta se projeví jako \emph{topologické kvantování
           magnetického náboje} $r=0,\frac{1}{2},1,...$ (tzv.Diracova kvantovací podmínka). 
    
            Dirac tuto kvantovací podmínku odvodil speciálně pro kvantovou mechaniku
            v poli magnetického monopólu, zde však vidíme, že je důsledkem 
            obecnějšího pohledu: konstruovat QM pomocí komplexních 
            line-bundlů s konexí. (Viz. vynikající članék W.Greuba a H.R.Petryho
            \cite{gr} o "minimálním couplování".)        
   
\end{itemize}

           Tolik o fyzikálních využitích "podmínky integrality".\bigskip

            Vráťme se k metodě orbit a využijme po druhé toho, že  
           ${\cal O}_r \cong {\cal S}^2$, tím, že ${\cal S}^2$ je jednoduše 
           souvislá a pro tento případ nám teorie říká, že při zadané integrální
           2-formě existuje právě jeden line-bundle s konexí nad ${\cal O}_r$ 
           (až na isomorfismus line-bundlu s konexí $\equiv$ "strong bundle isomorphism").\medskip 

           Pro nás je tento výsledek zajímavý tím, že když v následující části
           budeme konstruovat explicitně takový line-bundle s konexí pro pevné
           $\omega_r$, potom naše volba tvaru konexe a přechodové funkce vyčerpává
           až na vynásobení konstantní funkcí všechny line-bundly s konexí
           odpovídající křivosti $i\omega_r$. \bigskip
\bigskip



%  k o n s t r u k c e   l i n e - b u n d l u

{\bf $\bullet$ Konstrukce line-bundlu s konexí odpovídající křivosti $i\omega_r$} \medskip

           Nechť je nad ${\cal O}_r$ zadán line-bundle s křivostí ${\cal R}=i\omega$,
           potom v lokální trivializaci $\{ U_k \}$je na okolí $U_k$ konexe tvaru:

    \begin{equation} \label{332}
        \nabla_{\xi}=\xi + i\alpha_k(\xi)  \qquad  .
    \end{equation}

Z definice platí
  \begin{displaymath}
    {\cal R}(\xi,\eta):= \nabla_{\xi}\nabla_{\eta} - \nabla_{\eta}\nabla_{\xi} 
    - \nabla_{[\xi,\eta]} \ ,
  \end{displaymath}

 na okolí $U_k$ potom z \ref{332}

   \begin{displaymath}
      {\cal R}(\xi,\eta)=i \bigl( \xi \alpha_k(\eta) - \eta \alpha_k(\xi) 
      - \alpha_k([\xi,\eta])  \bigr)=id\alpha_k(\xi,\eta) \quad .
   \end{displaymath}       
 
         V našem případě zvolíme za pokrytí sféry ${\cal O}_r$ otevřené okolí $U_1=$
         "sféru bez jižního pólu", otevřené okolí $U_2=$ "sféru bez severního pólu ".

         Na $U_1$ použijeme souřadnice (\ref{316}), k souřadnicím na $U_2$ přejdeme přes
         $$ w = \frac{1}{z},$$ dále budeme tedy $U_1$ a $U_2$ ztotožňovat 
         s $\mathbb{C}$. Průnik $U_1 \cap U_2$ je roven $\mathbb{C} - \{ 0 \}$.\medskip

         Okolí $U_k \ (k=1,2)$ je difeomorfní s $\mathbb{R}^2$ a $\omega$ je uzavřená,
         platí  na něm tedy Poincarého lemma a  z něj plyne existence 1-formy $\alpha_k$, 
         takové, že $$d\alpha_k=\omega|_{U_k}.$$\medskip

         $\omega$ je globálně definována, obecně ale má v různých souřadnicích různý tvar. 
         Je shodou náhod, že naše formy $\omega_r$ (\ref{323}) mají stejný tvar v obou 
         souřadnících "$z$" i "$w$". Stačí tedy nalézt (uhodnout) $\alpha_1$ v "$z$" a
         stejný tvar zvolit pro  $\alpha_2$ v "$w$", konkrétně

 \begin{displaymath}
   \alpha_1:=\frac{2ir\overline{z}}{1+|z|^2} \ dz  \ ,\quad  
   \alpha_2:=\frac{2ir\overline{w}}{1+|w|^2} \ dw \ . 
 \end{displaymath}

         Co je však stěžejní pro konstrukci line-bundlu je vidět chování 1-forem 
         $\alpha_1$ a $\alpha_2$ na průniku $U_1 \cap U_2$, proto musí být vyjádřeny
         na tomto průniku ve stejných souřadnicích, přetransformujeme tedy $\alpha_2$
         do "$z$" a dostaneme zásadní informaci, že na  
         $U_1 \cap U_2$ ($\cong \mathbb{C} - \{ 0 \}$) je 

   \begin{equation} \label{333}
      \alpha_1=\frac{2ir\overline{z}}{(1+|z|^2)} \ dz  \ ,\quad  
      \alpha_2=\frac{-2ir}{(1+|z|^2)z} \ dz \qquad z\in U_1 \cap U_2. 
   \end{equation}
    
         Takto zadané lokální 1-formy již přirozeně umožňují využít základní
         rovnost line-bundlu s konexí, totiž, že na překryvu jejich
         definičních oborů musí platit
 \begin{equation} \label{334}
   i\alpha_1 \ - \  i\alpha_2 \ = \ \frac{1}{c_{12}} \ dc_{12} \quad ,
 \end{equation}     
                            
         kde $c_{12}$ je \emph{přechodová funkce} ("kalibrační transformace")
         mezi okolím $U_1$ a $U_2$.
         Funkce $c_{12}$ je hladká, nenulová,  definovaná na $U_1 \cap U_2$.
         Při zadaném $\alpha_1$ a $\alpha_2$ určuje rovnost (\ref{334}) 
         "diferenciální rovnici" pro $c_{12}$. V našem případě explicitně

 \begin{displaymath}
    \frac{1}{c_{12}} \ dc_{12} \ = \ -\frac{2r\overline{z}}{(1+|z|^2)} \ dz \ + 
    \frac{2r}{(1+|z|^2)z} \ dz \quad,
 \end{displaymath}
    tedy
 \begin{equation} \label{335}
   \frac{1}{c_{12}} \ dc_{12} \ = \ \frac{-2r}{z} \ dz \quad.
 \end{equation} \medskip
 
          Hledáme tedy alespoň jedno řešení diferenciální rovnice (\ref{335}) na 
          $U_1 \cap U_2$ a nacházíme
  
 \begin{equation}
   c_{12} \ (z,\overline{z}) \ =  \ z^{-2r} \qquad \forall z \in \mathbb{C} - \{ 0 \} \ .
 \end{equation}

          Při pevném $r$ tak máme zadaný právě jeden line-bundle. 
          Z minulé části však víme, že aby to mohl být line-bundle s konexí
          je třeba slpnit podmínku integrality (\ref{330}). Pro každé nezáporné
          číslo $r=\frac{n}{2}$ tak dostáváme neekvivalentní line-bundle s konexí: 
          s přechodovou funkcí   
 \begin{equation}\label{337}
   c_{12} \ (z,\overline{z}) \ =  \ z^{-n} \qquad \forall z \in \mathbb{C} - \{ 0 \} \ ,
 \end{equation}
s konexí 
 \begin{equation}\label{338}
  \nabla^1_{\xi} \ = \xi +  \frac{- \ n\overline{z}}{(1+|z|^2)} \ dz (\xi)\ , \quad
  \nabla^2_{\xi} \ = \xi +  \frac{n}{(1+|z|^2)z} \ dz (\xi) 
 \end{equation}
 a křivostí
\begin{equation}\label{339}
   {\cal R} \ = \ i\omega_{\frac{n}{2}} \ 
    = \ \frac{n}{(1+|z|^2)^2} \ dz \wedge d\overline{z} \quad \qquad  
   \frac{n}{2}=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}, \ldots  \quad.
 \end{equation} \bigskip
          Budeme jej označovat $L_{\frac{n}{2}}$.


   % p r e - k v a n t o v a n i

{\bf $\bullet$ Pre-kvantování $({\cal O}_{\frac{n}{2}},\omega_{\frac{n}{2}})$ 
       a konstrukce reprezentací } \medskip

          V předchozích dvou odstavcích jsme se dozvěděli, že line-bundly 
          s konexí existují pouze pro orbity s poločíselným poloměrem 
          (\emph{podmínka integrality}), že jsou určeny jednoznačně až 
          na isomorfismus line-bundlů s konexí (\emph{jednoduchá souvislost sféry})
          a následně jsme tyto line-bundly explicitně zkonstruovali 
          ((\ref{337}), (\ref{338}), (\ref{339})).
Pro každou "poločíselnou" orbitu tak dostáváme reprezentaci její Poissonovy
          algebry $({\cal A}, \{ , \})$ hladkých funkcí s Poissonovou závorkou, 
          ekvivalentně, Lieovy algebry Hamiltonovských polí s komutátorem 
          $({\cal X}_H, [,])$, předpisem:
 \begin{equation} \label{340}
    \rho(\xi_f) \ = \ \nabla_{\xi_f}  + \ if  \quad.
 \end{equation} 
         Máme tak \emph{pre-kvantovány} symplektické variety (orbity)
         $({\cal O}_{\frac{n}{2}},\omega_{\frac{n}{2}})$.
\bigskip

         Náš hlavní cíl, je ovšem konstrukce reprezentací Lieovy algebry
         $\mathfrak{su}(2)$. V tomto okamžiku je konečně získáme, spojením
         "klasické části" a "pre-kvantování", máme totiž:
 \begin{enumerate}
   \item vnoření $\mathfrak{su}(2)$ do $({\cal A}, \{ , \})$ na každé "symplektické orbitě"
   \item pre-kvantování "symplektických orbit s poločíselným poloměrem"  
 \end{enumerate}

         Spojení těchto dvou výsledků nám ihned dává spočetně mnoho neekvivalentních
         \footnote{ve smyslu line-bundlů s konexí} reprezentací algebry $\mathfrak{su}(2)$
 \begin{displaymath}
  \rho  : \  X \longmapsto \lambda_X \longmapsto \nabla_{\xi_{X}} + i\lambda_X \quad.
 \end{displaymath}\bigskip

         Získané výsledky (\ref{318}), (\ref{327}), (\ref{337}) a (\ref{338}) nám umožňují 
         dosazením do (\ref{340})
         explicitně zapsat operátory reprezentující bazické prvky $J_1,J_2,J_3$ (\ref{303}) 
         algebry $\mathfrak{su}(2)$.\medskip

         Nechť $\sigma = (\psi_1,\psi_2)$ je hladký řez v $L_{\frac{n}{2}}$,
         potom v trivializaci $U_1$ jsou $J_1,J_2,J_3$ reprezentovány
         diferenciálními operátory 1.řádu

\begin{eqnarray} \label{341}
 \nonumber  \rho(J_1) & = & \xi_1 \ + \ i\frac{n}{2}z  \\
            \rho(J_2) & = & \xi_2 \ + \ \frac{n}{2}z \\
 \nonumber  \rho(J_3) & = & \xi_3 \ + \ i\frac{n}{2}  \quad , 
\end{eqnarray}

         které působí na hladkých funkcích $\psi_1=\psi_1(z,\overline{z})$ 
         na $U_1 \ (\equiv \mathbb{C})$.\smallskip

         V trivializaci $U_2$ jsou reprezentovány operátory
 \begin{eqnarray}\label{342}
 \nonumber  \rho(J_1) & = & \xi_1 \ + \ i \frac{n}{2} \frac{1}{z}  \\
            \rho(J_2) & = & \xi_2 \ - \ \frac{n}{2} \frac{1}{z}  \\
 \nonumber  \rho(J_3) & = & \xi_3 \ - \ i\frac{n}{2}  \quad 
\end{eqnarray}
         působícími na hladkých funkcích $\psi_2=\psi_2(z,\overline{z})$ 
         na $U_2 \ (\equiv \mathbb{C}- \{ 0 \})$.

         Vektorová pole $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ (\ref{318}) jsou definována globálně a 
         jsou tedy stejná v obou trivializacích.\medskip

         Máme tedy zkonstruovánu reprezenatci $\mathfrak{su}(2)$ pro každé
         $\frac{n}{2}$ pomocí operátorů ((\ref{341}), (\ref{342})) definovaných na hladkých 
         řezech v $L_{\frac{n}{2}}$. Tyto reprezentace však jsou nekonečněrozměrné
         a tedy \emph{nejsou ireducibilní}. \footnote{$SU(2)$ je kompaktní: 
         nekonečněrozměrná reprezentace $\Rightarrow$ reducibilní reprezentace.}   


 %  R e d u k c e 

\bigskip
\section{Redukce reprezentací: holomorfní řezy}    
   
         Třetí část obecné metody orbit, tzv. \emph{metoda polarizací},
         napovídá jak zkonstruované reprezentace redukovat. Redukce vznikne
         nalezením vhodného invariantního podprostoru hladkých funkcí
         (při pevně zvolené trivializaci). Tyto funkce tvoří průnik jader
         (jsou konstantní podél integrálních křivek) prvků \emph{polarizace}
         $\cal P$, tj. konečné množiny vektorových polí na orbitě splňujících podmínky:
 \begin{itemize}
   \item $[\xi,\eta] \in {\cal P}$ pro všechna $\xi,\eta \in {\cal P}$ 
   (\emph{integrabilní distribuce})
   \item všechna $\xi \in {\cal P}$ jsou $SU(2)$-invariantní (při akci $Ad_g$)
   \item $\quad {\cal P} \subset \textrm{ker}\alpha_1, 
          \quad \textrm{kde} \ \ d\alpha_1=\omega_{\frac{n}{2}}|U_1$ 
 \end{itemize} 

         Poslední podmínka nám v našem případě, pomocí (\ref{333}), určí, že 
 $$ {\cal P} = \{ \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \} \ $$ 
         a omezíme se tedy na funkce, pro které platí 
  \begin{displaymath}
       \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z) \ = \ 0 \ , \qquad z\in \mathbb{C} 
             \equiv U_1 \ ,
 \end{displaymath}
         což je ekvivalentní tomu, že se omezíme na prostor
        \emph{holomorfních funkcí} na $\mathbb{C}$.
 
        (V komplexních souřadnicích nejsou všechny hladké funkce holomorfní(!) 
         např.: $f(u,v)=u^2+v^2=f(z,\overline{z})=z \overline{z}$)\medskip

         Reprezentující operátory jsou potom z (\ref{341}) a (\ref{318}):
  
\begin{eqnarray} \label{343}
 \nonumber  \rho_{\frac{n}{2}}(J_1) & = &\frac{i}{2}(1-z^2)\frac{\partial}{\partial z}  \ + 
                          \ i\frac{n}{2}z \\
            \rho_{\frac{n}{2}}(J_2) & = & -\frac{1}{2}(1+z^2)\frac{\partial}{\partial z} \ +
                          \ \frac{n}{2}z \\
 \nonumber  \rho_{\frac{n}{2}}(J_3) & = & -iz\frac{\partial}{\partial z} \ + 
                          \ i\frac{n}{2}  \quad , 
\end{eqnarray}

 \bigskip

        Toliko by to bylo v jediné trivializaci, my však pracujeme na line-budlech
        $L_{\frac{n}{2}}$ a potřebujeme tedy, aby "celé řezy"
        $\sigma = (\psi_1,\psi_2)$ byly     
        holomorfní. Tedy je-li $\psi_1=\psi_1(z)$, potom i funkce $\psi_2$
   
    \begin{displaymath}
        \psi_2(z) \ = \ z^{-n}\psi_1(z) \ , 
        \quad z \in \mathbb{C} - \{ 0 \} \equiv U_1 \cap U_2
    \end{displaymath}

        musí být holomorfní. Zároveň musí být v nekonečnu omezená,
        aby byla dobře definovanou funkcí na $U_2$ a $\sigma=(\psi_1,\psi_2)$
        tak byl opravdu holomorfní řez v $L_{\frac{n}{2}}$.\medskip

        Jediné funkce $\psi_1$ vyhovující takovým požadavkům, při pevně zvoleném
        $\frac{n}{2}$, jsou \emph{polynomy} stupně nejvýše $n$ !\medskip

        V trivializaci $U_1$ line-bundlu s konexí $L_{\frac{n}{2}}$ je tedy
        invariantní podprostor tvořící ireducibilní reprezentaci (n+1)-rozměrný
        prostor polynomů 
        $$  L_{\frac{n}{2}} \ \rightarrow \ {\cal H}_{n+1} \ = \ {\cal P}_n(\mathbb{C}) \ = 
          \ span_{\mathbb{C}} \{ 1,z,...,z^n \} \ . $$ 
        
        


    % Z  A  V  E  R  

\chapter{Závěr}
        Aplikace metody orbit nám umožnila zkonstruovat explicitní tvar (\ref{343})
        všech ireducibilních reprezentací Lieovy algebry ${\mathfrak su}(2)$ 
        (jak je dobře známo z libovolné učebnice kvantové mechaniky zabývající 
        se momentem hybnosti, či naopak z libovolné učebnice zabývající se teorií
        reprezentací prostých Lieových algeber).

         Metodu orbit lze použít pro libovolnou Lieovu grupu. Pro mnohé běžně 
         používané Lieovy grupy tato konstrukce dává vynikající výsledky a vede na
         všechny, či "skoro všechny" ireducibilní reprezentace. Pro některé speciální
         podtřídy Lieových grup je tento výsledek dokázán rigorózně.   
\medskip

        V posledních letech se metoda orbit stala inspirací také pro metody konstrukcí
        ireducibilních reprezentací dalších algebraický struktur, speciálně
        \emph{kvantových grup}. Tato tématika by měla být přiblížena v další práci. 

\begin{thebibliography}{6}
 \section*{Lieovy grupy, algebry a jejich reprezentace:}

  \bibitem[Fu,Ha]{fu,ha}: W. Fulton, J.Harris: \emph{Representation Theory}, Springer-Verlag,
     Berlin, 1991.

 \section*{Metoda orbit:}

  \bibitem[Ko]{ko}: B. Kostant: \emph{Quantization and unitary representations}, 
      in \emph{Lectures in Modern Analysis III}, C.T.Taam (ed)., Lecture Notes in 
      Mathematics {\bf{170}}, pp.87-208, Springer-Verlag, Berlin, 1970.

  \bibitem[Šá]{sa}: J. Šála: 
     \emph{Konstrukce reprezentací metodou orbit pro grupu $SL_q(2,\mathbb{R})$}, 
     ročníková práce, FJFI ČVUT, Praha, 2000.

  \bibitem[Ju,To]{to}: B. Jurčo, J. Tolar:  \emph{Klasický model spinu}, Acta Polytechnica 
         {\bf{12}} (IV., 2), 1983.
        
 \section*{Fyzikální motivace a využití komplexních line-bundlů s konexí:}

   \bibitem[Gr,Pe]{gr}: W. Greub, H.-R. Petry: \emph{Minimal coupling and complex line-bundles}, J. Math. Phys. {\bf{16}}, pp.1347-1351, 1975.

   \bibitem[Al]{al}: O. Alvarez: \emph{Topological quantization and cohomology}, Commun. Math. Phys. {\bf{100}}, pp.279, 1985. 

 \end{thebibliography}
  
 \end{document}

                                   C:\Res5.tex
                            
