Počítačové metody analýzy fraktálních množin (Diplomová práce)

Výsledkem mého studia na [[http://www.fjfi.cvut.cz/|FJFI]] je diplomová práce, která se týká teorie fraktálních množin a měření jejich dimenze.

Cílem této práce je uvést a vysvětlit základní pojmy fraktální geometrie, popsat základní vlastnosti a způsoby výpočtu fraktální dimenze, ukázat výpočty dimenzí analyticky i numericky a pokusit se vylepšit přesnost numerického měření mřížkové dimenze.

Práce je rozdělena na dvě hlavní části – teoretickou a praktickou. V teoretické části se zabývám teorií míry a definicí a vlastnostmi Hausdorffovy a mřížkové dimenze. Vlastnosti dimenzí jsou popsány matematickými větami, jejichž většina je doplněna důkazy, které dle mého názoru velice usnadňují pochopení tématu. Tato část obsahuje také mnoho příkladů výpočtů, které rovněž pomáhají pochopení.

V praktické části se zabývám numerickým výpočtem mřížkové dimenze a jejím možným vylepšením. Výpočty jsou provedeny postupně na různých množinách počínaje jednoduchými až po nejsložitější fraktální množiny typu Mandelbrotovy množiny. Navrhl jsem jednoduchou metodu pro zpřesnění. Měření jsem prováděl nejprve na jednoduchých množinách, kde výsledek odpovídal očekávání, i když v některých případech byla chyba znatelná. Pomocí mojí metody se výsledek zlepšil (tzn. chyba se snížila) v některých případech i více než desetkrát. Podobná zlepšení jsem zaznamenal i v případě IFS fraktálů (Kochova křivka, Sierpińského trojúhelník atd.). Zde se také výsledek zlepšil. Měření dimenze hranice Mandelbrotovy množiny naopak nedopadlo vůbec podle očekávání a výsledek se značně měnil podle parametrů výpočtu množiny. Avšak ani v jednom případě se neblížil hodnotě 2, což je Hausdorffova dimenze hranice Mandelbrotovy množiny. V odborné literatuře jsem nenašel důkaz, zda se mřížková dimenze pro tento případ rovná dimenzi Hausdorffově (což byl také důvod, proč jsem se o to pokoušel). Z měření tedy vyplynulo, že se tyto dimenze zřejmě nerovnají. Je ovšem také možné, že množina nebyla vygenerována dostatečně jemně. Tato možnost se mi jeví ale jako méně pravděpodobná, protože i při zvyšování počtu iterací a jemnosti se výsledky chovaly „náhodně“. Podrobnosti a další výsledky naleznete v diplomové práci, kterou zde dávám ke stažení v PDF.

Download diplomové práce v PDF

OBSAH PRÁCE:

1. Úvod
2. Základní pojmy fraktální geometrie
2.1. Fraktál
2.2. Soběpodobnost, systémy iterovaných funkcí
2.3. Klasické fraktály
2.4. Juliovy množiny
2.5. Mandelbrotova množina
3. Teoretická část
3.1. Míra a dimenze
3.2. Hausdorffova míra
3.3. Hausdorffova dimenze
3.4. Mřížková (box-counting) dimenze
3.5. Výpočet Hausdorffovy míry a dimenze
3.6. Výpočet mřížkové (box-counting) dimenze
4. Praktická část
4.1. Vizualizace
4.2. Mřížková dimenze na počítači
4.3. Vylepšení numerického výpočtu mřížkové dimenze
4.4. Měření dimenze „jednoduchých“ množin
4.5. Měření dimenze fraktálních množin
4.6. Měření dimenze Mandelbrotovy množiny
5. Programy
5.1. Program pro generování Mandelbrotovy a Juliových množin
5.2. Program pro měření mřížkové dimenze Mandelbrotovy množiny
5.3. Program pro generování IFS fraktálů a měření jejich dimenze
6. Závěr
7. Použitá literatura
8. Přílohy