Projekt: Optimální mince a bankovky
Autorka: Hana Daňková (Školitelka: Lubomíra Dvořáková (roz. Balková) )
Už jste se někdy zamysleli nad tím, v čem je výhoda našich mincí a bankovek? A je vůbec nějaká? Je pravda, že zaplatíme libovolnou částku relativně malým počtem bankovek a mincí? Platí, že dostaneme minimální počet použitých bankovek a mincí pomocí tzv. hladového algoritmu? A nehodilo by se přidat mezi české bankovky či mince nějakou novou hodnotu, která by umožnila průměrný počet bankovek použitých při placení o hodně zmenšit? Cílem této SOČ je na výše zmíněné otázky odpovědět. A vymyslet si i další podmínky efektivity placení a najít pro ně systémy mincí a bankovek, které jim vyhovují nejlépe. Projekt je určen pro studenty, kteří si rádi hrají s matematikou a nebojí se klást si nové a nové otázky. Hodí se i základní znalost programování, aby se daly transakce v různých platebních systémech simulovat.
Práce se zabývá následujícími tématy a otázkami:
- Rozměňování - kompozice předepsané částky pomocí mincí a bankovek daného platebního systému
- Jaký je minimální počet mincí a bankovek pro rozměňování částek v předepsaném intervalu v jednotlivých platebních systémech?
- Jak by vypadal optimální platební systém pro předepsaný počet mincí a bankovek?
- Jakou minci či bankovku přidat do předepsaného platebního systému pro přiblížení optimalitě?
- V jakých platebních systémech je platba každé částky pomocí minimálního počtu mincí a bankovek stejná jako platba získaná hladovým algoritmem?
- Jak by vypadal platební systém pro předepsaný počet mincí a bankovek, který je optimální pro hladový algoritmus?
- Jakou minci přidat pro přiblížení placení pomocí hladového algoritmu optimalitě?
- Jak by vypadal optimální platební systém pro předepsaný počet mincí a bankovek, který každou minci a bankovku použije maximálně k- krát?
- Jak by vypadal optimální platební systém pro předepsaný počet mincí a bankovek, který každou minci a bankovku používá co nejrovnoměrněji?
- Směnný obchod - kompozice předepsané částky pomocí dávání i vracení mincí a bankovek (Řešte analogické úlohy jako pro rozměňování.)
- Jaké systémy mincí a bankovek existují ve světě a v čem jsou jejich výhody a nevýhody?
- Vymyslete další podmínky na efektivitu platby mincemi. Navrhněte systémy, které budou efektivní podle nového kritéria.
- L. Balková, A. Šťastná, Jsou české mince optimální?, odesláno do Rozhledů matematicko-fyzikálních (2014), použity programy od A. Šťastné
- M. Kleber, R. Vakil, and J. Shallit, What this country needs is an 18 cent piece, Mathematical Intelligencer 25(2) (2003), 20-23
- Š. Šimsa, Měnová reforma s využitím počítače, Studentský matematicko-fyzikální časopis MaM, Ročník XVI, Číslo 4, 2009