Combinatorical and Algebraic Structures Seminar

Session details

Date: 12.10.2007
Speaker: Zuzana Masáková, FJFI, České vysoké učení technické
Title: Číselné soustavy s neceločíselnou bází
Abstract: Každé nezáporné číslo $x$ má jednoznačné vyjádření ve tvaru $x=\sum_{i=-\infty}^kx_i\beta^i$, tj. tak zvaného $\beta$-rozvoje. Jako analogii k racionálním celým číslům $\Z$, zavádíme množinu $\Z_\beta$ $\beta$-celých čísel, tj.\ čísel, jejichž $\beta$-rozvoj je tvaru $x=\sum_{i=0}^kx_i\beta^i$. Pokud $\beta$ je celé číslo, je $\Z_\beta=\Z$. Jestliže $\beta\notin\Z$, pak má množina $\Z_\beta$ některé neobvyklé vlastnosti, které budeme ilustrovat. Například ne každá konečná posloupnost $x_k\dots x_0$ cifer $x_i\in\{0,1,\dots,[\beta]\}$ je $\beta$-rozvojem nějakého $x>0$. Přípustnost posloupností cifer je dána Parryho podmínkou, podle tzv.\ Rényiho rozvoje jedničky $d_\beta(1)$. Pokud je $d_\beta(1)$ od jistého členu periodická posloupnost, je počet vzdáleností mezi sousedními body množiny $\Z_\beta$ konečný a $\Z_\beta$ lze generovat pomocí substituce. Předvedeme rovněž, že množina $\Z_\beta$ má pro $\beta\notin\Z$ zvláštní chování\ vzhledem k aritmetickým operacím. Nejenže $\Z_\beta$ není uzavřená na sčítání a násobení, ale výsledek součtu nebo součinu $\beta$-celých čísel může dokonce být číslo s nekonečným $\beta$-rozvojem. Lze také studovat meze na délku $\beta$-zlomkové části, která při aritmetických operacích vzniká.

Return to index.